Cómo encontrar probabilidades estadísticas en una distribución normal

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Por Deborah J. Rumsey

Si su muestra estadística tiene una distribución normal (X), entonces puede usar la tabla Z para encontrar la probabilidad de que algo ocurra dentro de un conjunto definido de parámetros. Por ejemplo, puede ver la distribución de las longitudes de los peces en un estanque para determinar la probabilidad de capturar una determinada longitud de peces.

Siga estos pasos:

1. Haga un dibujo de la distribución normal.
2. Traduzca el problema a uno de los siguientes: p(X < a), p(X > b), o p(a < X < b). Sombra en el área de la foto.
3. Estandarice a (y/o b) a una puntuación z utilizando la fórmula z:
4. Busca la puntuación z en la tabla Z (ver abajo) y encuentra su correspondiente probabilidad.a.Busca la fila de la tabla correspondiente al dígito principal (un dígito) y al primer dígito después del punto decimal (el décimo dígito).b.Busca la columna correspondiente al segundo dígito después del punto decimal (el dígito de la centésima).c.Intersecciona la fila y la columna de los Pasos (a) y (b).
5. 5a. Si necesitas una probabilidad «menor», es decir, p(X < a), estás acabado.
6. 5b.Si quieres una probabilidad «mayor que» – es decir, p(X > b) – toma una menos el resultado del Paso 4.
7. 5c.Si necesita una probabilidad «entre dos valores» – es decir, p(a < X < b) – realice los Pasos 1-4 para b (el mayor de los dos valores) y de nuevo para a (el menor de los dos valores), y reste los resultados.

La probabilidad de que X sea igual a cualquier valor individual es 0 para cualquier variable aleatoria continua (como la normal). Esto se debe a que las variables aleatorias continuas consideran la probabilidad como un área bajo la curva, y no hay un área bajo una curva en un solo punto. Esto no es cierto en el caso de las variables aleatorias discretas.

Suponga, por ejemplo, que participa en un concurso de pesca. El concurso tiene lugar en un estanque donde las longitudes de los peces tienen una distribución normal con una media de

y desviación estándar

• Problema 1: ¿Cuál es la probabilidad de atrapar un pez pequeño – digamos, menos de 8 pulgadas?
• Problema 2: Supongamos que se ofrece un premio para cualquier pez de más de 24 pulgadas. ¿Qué posibilidades hay de ganar un premio?
• Problema 3: ¿Cuál es la probabilidad de atrapar un pez entre 16 y 24 pulgadas?

Para resolver estos problemas utilizando los pasos anteriores, primero dibuje una imagen de la distribución normal a mano.

La distribución de las longitudes de los peces en un estanqueEsta

figura muestra una imagen de la distribución de X para las longitudes de los peces. Puede ver dónde caen los números de interés (8, 16 y 24).

A continuación, traduzca cada problema en notación de probabilidad. El problema 1 es realmente pedirte que encuentres p(X 24). Y Problema 3 está buscando p(16

El

paso

3

dice cambiar los valores de x por los valores de z usando la fórmula de z:
Para el

problema 1 del ejemplo de los peces, tiene lo siguiente:

De forma similar para el Problema 2, la p(X > 24) se convierte en
Y

el

Problema 3 se traduce de p(16
La

siguiente

figura muestra una comparación de la distribución X y la distribución Z para los valores x = 8, 16 y 24, que se estandarizan en z = -2, 0 y +2, respectivamente.
X) a los

números de la distribución Z«/>Normalizar números de una distribución normal (X) a los números de la distribución Z. Ahora que

ha cambiado los valores de x a los valores de z, vaya al paso 4 y calcule las probabilidades de esos valores de z utilizando la tabla Z.

En el

Problema 1

del ejemplo de peces, usted quiere p(Z
Para el Problema

2,

busque p(Z> 2.00). Debido a que es un problema «mayor que», esto requiere el Paso 5b.

Para poder usar la tabla Z, es necesario reescribirla en términos de una sentencia «menos que». Debido a que toda la probabilidad de la distribución Z es igual a 1, usted sabe p(Z> 2.00) = 1 – p(Z < 2.00) = 1 – 0.9772 = 0.0228 (using the Z-table). So, the probability that a fish is greater than 24 inches is also 0.0228. (Note: The answers to Problems 1 and 2 are the same because the Z-distribution is symmetric; refer to the first figure.)

En el Problema 3, encontrará p(0 < Z < 2.00); this requires Step 5c. First find p(Z < 2.00), which is 0.9772 from the Z-table. Then find p(Z < 0), which is 0.5000 from the Z-table. Subtract them to get 0.9772 – 0.5000 = 0.4772. The probability of a fish being between 16 and 24 inches is 0.4772.

La tabla Z no enumera todos los valores posibles de Z; sólo los lleva a cabo hasta dos dígitos después del punto decimal. Usa la más cercana a la que necesites. Y al igual que en un avión donde la salida más cercana puede estar detrás de ti, el valor de z más cercano puede ser el más bajo que necesites.