Cómo cambiar las coordenadas rectangulares por coordenadas esféricas

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Por Steven Holzner

En física cuántica, para encontrar las funciones propias (no sólo las propias) de los operadores de momento angular como L2 y Lz, se pasa de las coordenadas rectangulares, x, y, y, z, a las coordenadas esféricas, ya que esto simplificará mucho las matemáticas (después de todo, el momento angular se trata de cosas que giran en círculos). La siguiente figura muestra el sistema de coordenadas esféricas.

El sistema de coordenadas esféricas.

En el sistema de coordenadas rectangular (cartesiano), se utiliza x, y, y, z para orientarse. En el sistema de coordenadas esféricas, también se utilizan tres cantidades:

como muestra la figura. De esta forma se puede traducir entre el sistema de coordenadas esféricas y el sistema rectangular: El vector r es la longitud del vector hasta la partícula que tiene momento angular,

es el ángulo de r respecto al eje z, y

es el ángulo de r desde el eje x.

Considere las ecuaciones para el momento angular:

Cuando se toman las ecuaciones de momento angular con las ecuaciones de conversión del sistema de coordenadas esféricas, se puede derivar lo siguiente:

Vale, estas ecuaciones parecen bastante implicadas. Pero hay una cosa que hay que notar: Dependen sólo de

lo que significa que sus propios estados dependen sólo de

no en r. Por lo tanto, las funciones propias de los operadores de la lista anterior se pueden denominar así:

Tradicionalmente, se le da el nombre

a las funciones propias del momento angular en coordenadas esféricas, así que tiene lo siguiente:

Muy bien, tiempo para trabajar en encontrar la forma real de

Sabes que cuando usas los operadores L2 y Lz en los propios estados de momento angular, obtienes esto:

Así que lo siguiente debe ser cierto:

De hecho, puedes ir más lejos. Tenga en cuenta que Lz sólo depende de

lo que sugiere que puedes dividir

en una parte que depende de

y una parte que depende de

Dividir

en partes se ve así:

Esto es lo que hace que trabajar con coordenadas esféricas sea tan útil – puede dividir las funciones propias en dos partes, una que depende sólo de

y una parte que depende sólo de

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