Cómo encontrar el ángulo y la magnitud de un vector

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Por Steven Holzner

En física, a veces hay que encontrar el ángulo y la magnitud de un vector en lugar de los componentes. Para encontrar la magnitud, usas el teorema de Pitágoras. Y para encontrar

se utiliza la función tangente inversa (o seno o coseno inverso).

Por ejemplo, suponga que está buscando un hotel que está a 20 millas al este y luego a 20 millas al norte. Desde su ubicación actual, ¿cuál es el ángulo (medido desde el este) de la dirección hacia el hotel, y qué tan lejos está el hotel? Puedes escribir este problema en notación vectorial, así:

Paso 1: (20, 0)

Paso 2: (0, 20)

Cuando sumas estos vectores, obtienes este resultado:

(20, 0) + (0, 20) = (20, 20)

El vector resultante es (20, 20). Esa es una forma de especificar un vector: usar sus componentes. Pero este problema no es pedir los resultados en términos de componentes. La pregunta quiere saber el ángulo y la distancia al hotel.

Usando el ángulo creado por un vector para llegar a un hotel.

En otras palabras, mirando la figura anterior, el problema se plantea,

Si conoces las componentes verticales y horizontales de un vector, encontrar la magnitud del vector no es tan difícil porque sólo necesitas encontrar la hipotenusa de un triángulo recto. Puedes usar el teorema de Pitágoras (x2 + y2 = h2), resuelto para h:

Conectar los números te da

Tenga en cuenta que cuando conoce los componentes horizontales y verticales de un vector, puede usar la tangente para encontrar el ángulo porque

Todo lo que tienes que hacer es tomar la tangente inversa de y/x:

Suponga que conduce 20 millas al este y 20 millas al norte. Así es como usted encuentra

el ángulo entre su posición original y su posición final:

Así que el hotel está a unas 28 millas de distancia en un ángulo de 45 grados.

Tenga cuidado al hacer cálculos con tangentes inversas, porque los ángulos que difieren 180 grados tienen la misma tangente. Cuando usted toma la tangente inversa, puede que necesite sumar o restar 180 grados para obtener el ángulo real que desea. El botón de la tangente inversa en su calculadora siempre le dará un ángulo entre 90 grados y -90 grados. Si su ángulo no está en este rango, entonces tiene que sumar o restar 180 grados.

Para este ejemplo, la respuesta de 45 grados debe ser correcta. Pero considere una situación en la que tendría que sumar o restar 180 grados: Suponga que camina en la dirección opuesta a la del hotel. Caminas 20 millas al oeste y 20 millas al sur (x = -20 millas, y = -20 millas), así que si usas el mismo método para calcular el ángulo, obtienes lo siguiente:

Obtendrá la misma respuesta para el ángulo aunque esté caminando en la dirección opuesta a la anterior. Esto se debe a que las tangentes de los ángulos que difieren en 180 grados son iguales. Pero si miras los componentes del vector (x = -20 millas, y = -20 millas), ambos son negativos, así que el ángulo debe estar entre -90 grados y -180 grados. Si restas 180 grados de tu respuesta de 45 grados, obtienes -135 grados, que es tu ángulo real medido desde el eje x positivo en el sentido de las agujas del reloj.

Alternativamente, usted podría razonar que como los componentes del vector son ambos negativos, usted debe estar entre 180 grados y 270 grados. Entonces usted sumaría 180 grados a su resultado y obtendría 225 grados, que se medirían desde el eje x positivo en la dirección contraria a las agujas del reloj.

Entonces, ¿cuál es el ángulo correcto, 225 grados o -135 grados? ¡Ambos! Ya sea que se mueva en sentido contrario a las manecillas del reloj 225 grados o en sentido de las manecillas del reloj 135 grados desde el eje x positivo, terminará dirigiéndose en la misma dirección.

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