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- Cómo encontrar el área de una superficie de revolución
Una superficie de revolución es una superficie tridimensional con secciones transversales circulares, como un jarrón o una campana o una botella de vino. Para estos problemas, se divide la superficie en bandas circulares estrechas, se calcula el área de superficie de una banda representativa y luego se suman las áreas de todas las bandas para obtener el área total de superficie. La siguiente figura muestra tal forma con una banda representativa.
¿Cuál es la superficie de una banda representativa? Bueno, si cortas la banda y la desenrollas, obtienes una especie de rectángulo largo y estrecho cuya área, por supuesto, es de largo por ancho.
Superficie de revolución: Una superficie generada al girar una función, y = f (x), alrededor de un eje tiene una superficie – entre a y b – dada por la siguiente integral:
Por cierto, en la explicación anterior, usted podría estar preguntándose por qué el ancho de la banda rectangular es
Esto se debe a que el pequeño ancho de banda está inclinado en lugar de horizontal (en cuyo caso sería sólo dx). El hecho de que esté inclinado hace que funcione como la hipotenusa de un pequeño triángulo rectángulo. La expresión de aspecto elegante para el ancho de la banda proviene de la elaboración de la longitud de esta hipotenusa con el Teorema de Pitágoras. ¡Eso debería hacerte sentir mucho mejor!
Si el eje de revolución es el eje x, r será igual a f (x) – como se muestra en la figura anterior. Si el eje de la revolución es otra línea, como y = 5, es un poco más complicado – algo a lo que aspirar.
Ahora intente un problema: ¿Cuál es el área superficial – entre x = 1 y x = 2 – de la superficie generada por la rotación?
sobre el eje X?
Una superficie de revolución – esta tiene forma de final de trompeta.
- Ahora puedes terminar el problema simplemente conectando todo en la fórmula, pero deberías hacerlo paso a paso para reforzar la idea de que cada vez que te integras, escribes un poquito de algo representativo – que es el integrand – y luego sumas todos los poquitos integrandose.
- Imagine el área de superficie de una banda estrecha representativa.
- Sume las áreas de todas las bandas de 1 a 2 integrando.