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- Cómo encontrar el área entre dos curvas
Para encontrar el área entre dos curvas, necesitas encontrar una expresión para un rectángulo estrecho que se asiente en una curva y suba a otra.
de x = 0 a x = 1:
Para obtener la altura del rectángulo representativo de la figura, reste la coordenada y de su parte inferior de la coordenada y de su parte superior.
Su base es el dx infinitesimal. Entonces, porque el área es igual a la altura por la base,
Ahora sólo tienes que sumar las áreas de todos los rectángulos de 0 a 1 mediante la integración:
Ahora para hacer las cosas un poco más retorcidas, en el siguiente problema las curvas se cruzan (ver la siguiente figura). Cuando esto sucede, tiene que dividir el área total sombreada en regiones separadas antes de la integración. Prueba este:
de x = 0 a x = 2.
- Determine dónde se cruzan las curvas, que se cruzan en (1, 1) – ¡qué asombrosa coincidencia! Así que tienes dos regiones separadas – una de 0 a 1 y otra de 1 a 2.
- Calcule el área de la región a la izquierda.
- Calcule el área de la región a la derecha.
- Sume las áreas de las dos regiones para obtener el área total.≈ 3.11 unidades cuadradas
Observe que la altura de un rectángulo representativo es siempre su parte superior menos su parte inferior, independientemente de si estos números son positivos o negativos. Por ejemplo, un rectángulo que va de 20 a 30 tiene una altura de 30 – 20, o 10; un rectángulo que va de -3 a 8 tiene una altura de 8 – (-3), o 11; y un rectángulo que va de -15 a -10 tiene una altura de -10 – (-15), o 5.
Si piensa en este método para calcular la altura de un rectángulo, ahora puede ver -suponiendo que no lo haya visto ya- por qué la integral definitiva de una función cuenta como negativa un área por debajo del eje x. Por ejemplo, considere la siguiente figura.
¿Cuál es el área sombreada? Sugerencia: no es
Si desea el área total de la región sombreada que se muestra en la figura, tiene que dividir la región sombreada en dos partes separadas como lo hizo en el último problema.
Para la primera pieza, de 0 a pi, un rectángulo representativo tiene una altura igual a la función misma, y = sin (x), porque su parte superior está en la función y su parte inferior está en cero – y por supuesto, cualquier cosa menos cero es en sí misma. Así que el área de esta primera pieza está dada por la integral ordinaria definida
la parte superior de un rectángulo representativo está en cero – recuerde que el eje x es la línea y = 0 – y su parte inferior está en y = sin(x), por lo que su altura (dada, por supuesto, por arriba menos abajo) es 0 – sin(x), o simplemente -sin(x). Así, para obtener el área de esta segunda pieza, se calcula la integral definitiva del negativo de la función,
Debido a que esta integral negativa le da el área ordinaria, positiva de la pieza por debajo del eje x, la integral positiva definida.
da un área negativa. Por eso, si piensas que la integral definitiva
en todo el tramo, la pieza por debajo del eje x cuenta como un área negativa, y la respuesta le da la red del área por encima del eje x menos el área por debajo del eje – en lugar del área sombreada total. ¿Claro como el barro?