Cómo encontrar una línea normal perpendicular a una línea tangente

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Una línea normal a una curva en un punto dado es la línea perpendicular a la línea que es tangente en ese mismo punto. Encuentra los puntos de perpendicularidad para todas las líneas normales a la parábola.

que pasan por el punto (3, 15):

Grafica la parábola y traza el punto (3, 15). Ahora, antes de hacer los cálculos, trate de aproximar las ubicaciones de todas las líneas normales. ¿Cuántos puedes ver? Es bastante fácil ver que, a partir de (3, 15), una línea normal baja ligeramente a la derecha y otra baja un poco más hacia la izquierda. Pero, ¿encontraste el tercero que está entre estos dos? No se preocupe si no vio ésta porque cuando hace los cálculos, obtiene las tres soluciones.

Cuando haga cálculo, o cualquier matemática para el caso, haga una estimación aproximada de sentido común de la solución a un problema antes de hacer la matemática (cuando sea posible y si el tiempo lo permite). Esto profundiza su comprensión de los conceptos implicados y proporciona una comprobación de la solución matemática.

La figura muestra la parábola y las tres líneas normales.

Mirando la figura, se puede apreciar cuán práctico es este problema. Será realmente útil si te encuentras de pie dentro de la curva de una pared parabólica, y quieres saber la ubicación exacta de los tres puntos en la pared donde puedes lanzar una pelota y hacer que rebote directamente hacia ti.

La solución es muy similar a la solución del problema de la línea tangente, excepto que en este problema se usa la regla para las líneas perpendiculares:

Las pendientes de las líneas perpendiculares son recíprocos opuestos.

Cada línea normal de la figura es perpendicular a la línea tangente trazada en el punto donde la normal se encuentra con la curva. Así que la pendiente de cada línea normal es el recíproco opuesto de la pendiente de la tangente correspondiente – que, por supuesto, está dada por la derivada. Así que aquí va.

  1. Tomemos un punto general, (x, y), sobre la parábola y el substituto de y.
  2. Tome el derivado de la parábola.
  3. Usando la fórmula de pendiente, establece la pendiente de cada línea normal desde (3, 15) para que sea igual al recíproco opuesto de la derivada at y resuelve para x. Ahora, no hay una forma automática de obtener soluciones exactas para esta ecuación cúbica (3er grado) como la forma en que la fórmula cuadrática te da las soluciones para una ecuación de 2do grado. En su lugar, puede representar gráficamente

y las intersecciones x te dan las soluciones, pero con este método, no hay garantía de que obtendrás soluciones exactas. (A menudo, las soluciones aproximadas son lo mejor que puedes hacer con las ecuaciones cúbicas.) Aquí, sin embargo, tienes suerte -en realidad yo tuve algo que ver con ello- y obtienes las soluciones exactas de -8, -4 y 12.

  1. Enchufe cada una de las coordenadas x (-8, -4, y 12) a
  2. para obtener las coordenadas y.

Así, los tres puntos de la normalidad son (-8, 4), (-4, 1), y (12, 9).

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