Cómo trabajar con líneas en el cálculo

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Una línea es la función más simple que puede graficar en el plano de coordenadas. (Las líneas son importantes en el cálculo porque cuando se amplía lo suficiente una curva, se ve y se comporta como una línea.) Esta figura muestra el gráfico de la línea y = 3x + 5.

Golpeando las laderas

Lo más importante de la línea en esta figura – al menos, para su estudio de cálculo – es su pendiente o inclinación. Note que cuando x va 1 a la derecha, y sube por 3. Una buena manera de visualizar la pendiente es dibujar una escalera debajo de la línea (vea la figura de abajo).

La parte vertical del escalón se llama la subida, la parte horizontal se llama la carrera, y la pendiente se define como la relación entre la subida y la carrera.

(Como verás abajo, no tienes que hacer la carrera igual a 1 para calcular la pendiente de una línea, pero si haces la carrera igual a 1, la pendiente es la misma que la subida porque un número dividido por 1 es igual a sí mismo. Esta es una buena manera de pensar en la pendiente – la pendiente es la cantidad que una línea sube (o baja) a medida que va 1 hacia la derecha.)

Las líneas que suben a la derecha tienen una pendiente positiva; las que bajan a la derecha tienen una pendiente negativa. Las líneas horizontales tienen una pendiente de cero, y las verticales no tienen pendiente – usted dice que la pendiente de una línea vertical es indefinida.

Es fácil ver que la pendiente de la línea anterior es 3 (ya sea desde la subida y la bajada de los escalones dibujados en la segunda figura, o desde las coordenadas de la primera figura como (1, 8) y (2, 11) donde se pasa de 1 a 3). Pero en muchos problemas, no será tan obvio, así que tendrá que usar la fórmula de la pendiente. Aquí está:

Escoge dos puntos cualquiera en la línea de la primera figura, digamos (1, 8) y (3, 14), y conéctalos a la fórmula para calcular la pendiente:

Tenga en cuenta que no importa si invierte el orden de los puntos en la fórmula:

Ten en cuenta que si inviertes sólo las coordenadas del numerador o sólo las del denominador, obtendrás la respuesta incorrecta.

Líneas gráficas

Si tienes la ecuación de la recta y = 3x + 5, pero no su gráfico, puedes graficar la recta a la antigua usanza o con tu calculadora gráfica:

  • A la antigua usanza: Crea una tabla de valores conectando números a x y calculando y. Si conectas 0 a x, y es igual a 5; conecta 1 a x, e y es igual a 8; conecta 2 a x, y y es 11, y así sucesivamente. Trace los puntos, conecte los puntos, y ponga flechas en ambos extremos – ahí está su línea. (Nota: cuanto más complicada sea la forma del gráfico, más puntos necesitarás para ver hacia dónde va el gráfico… ya sabes, hacia dónde sube y baja, hacia dónde cambia de dirección, y así sucesivamente. Con una línea simple como la anterior, mientras que a veces puede que quieras calcular tres o cuatro puntos, sólo se necesitan dos puntos para graficar la línea.)
  • Con una calculadora gráfica: Sólo tienes que introducir y = 3x + 5 y tu calculadora grafica la línea y produce una tabla de coordenadas x- e y.

Formulario de intercepción de pendiente

Puedes ver que la línea de la figura cruza el eje y en 5 – este punto es la intersección y de la línea. Debido a que tanto la pendiente de 3 como la intersección y de 5 aparecen en la ecuación y = 3x + 5, se dice que esta ecuación está en forma de intersección pendiente. Aquí está el formulario escrito de la manera general:
y = mx + b. (Donde m es la pendiente y b es la intersección y.)

Todas las líneas, excepto las verticales, pueden escribirse de esta forma. Las líneas verticales siempre se ven como x = 6. El número le dice donde la línea vertical cruza el eje x.

La ecuación de una línea horizontal se ve diferente – y = 10, por ejemplo. Pero técnicamente se ajusta a la forma y = mx + b – es sólo que debido a que la pendiente de una línea horizontal es cero, y porque cero por x es cero, no hay término x en la ecuación.

Una línea es el tipo de función más simple, y una línea horizontal (llamada función constante) es el tipo de línea más simple. No obstante, es bastante importante en el cálculo, así que asegúrate de saber que una línea horizontal tiene una ecuación como y = 10 y que su pendiente es cero.

Si m = 1 y b = 0, se obtiene la función y = x. Esta línea pasa por el origen (0, 0) y forma un ángulo de 45 grados con ambos ejes de coordenadas. Se llama función de identidad porque sus salidas son las mismas que sus entradas.

Forma punto-pendiente

La forma punto-pendiente requiere que usted sepa – lo adivinó – un punto en una recta y la pendiente de la recta. Puedes usar cualquier punto de la línea. Aquí está la forma de punto-pendiente:

Usando la línea de la figura anterior, escoja cualquier punto – digamos (2, 11).

Con un poco de álgebra, puedes convertir esta ecuación en la que ya conoces: y = 3x + 5.

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