Cómo encontrar coeficientes binomiales

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Dependiendo de cuántas veces deba multiplicar el mismo binomio – un valor también conocido como exponente – los coeficientes binomiales para ese exponente en particular son siempre los mismos. Los coeficientes binomiales se encuentran mediante el uso de las teclas

fórmula de combinaciones. Si el exponente es relativamente pequeño, puedes usar un atajo llamado triángulo de Pascal para encontrar estos coeficientes. Si no, siempre puede confiar en el álgebra!

El triángulo de Pascal, llamado así por el famoso matemático Blaise Pascal, nombra los coeficientes binomiales para la expansión binomial. Es especialmente útil cuando se eleva un binomio a grados más bajos. Por ejemplo, si un maestro sádico te pide que encuentres (3x + 4)10, probablemente no querrás usar el triángulo de Pascal; en su lugar, sólo usarás la fórmula algebraica que se describe brevemente. La figura ilustra este concepto. El número superior del triángulo es 1, así como todos los números de los lados exteriores. Para obtener cualquier término en el triángulo, encuentra la suma de los dos números arriba.

Determinación de coeficientes con el triángulo de Pascal.

Cada fila da los coeficientes a (a + b)n, empezando por n = 0. Para encontrar los coeficientes binomiales para (a + b)n, utilice la fila n y comience siempre por el principio. Por ejemplo, los coeficientes binomiales para (a + b)5 son 1, 5, 10, 10, 5, y 1 – en ese orden.

Si necesitas encontrar los coeficientes de los binomios algebraicamente, hay una fórmula para eso también. El coeficiente de rth para la n-ésima expansión binomial se escribe de la siguiente forma:

Tal vez recuerde el término factorial de sus clases anteriores de matemáticas. Si no es así, he aquí un recordatorio: n!, que se lee como «n factorial», se define como

Lees la expresión para el coeficiente binomial

como «n choose r.»

Por lo general, puede encontrar un botón para las combinaciones en una calculadora. Si no, puede utilizar el botón factorial y hacer cada parte por separado.

Para hacer las cosas un poco más fáciles, 0! se define como 1. Por lo tanto, usted tiene estas igualdades:

Por ejemplo, para encontrar el coeficiente binomial dado por

sustituir los valores en la fórmula:

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