Cómo encontrar componentes vectoriales

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Por Steven Holzner

En física, cuando se rompe un vector en sus partes, esas partes se llaman sus componentes. Por ejemplo, en el vector (4, 1), el componente del eje x (horizontal) es 4, y el componente del eje y (vertical) es 1. Típicamente, un problema de física le da un ángulo y una magnitud para definir un vector; usted mismo tiene que encontrar los componentes usando un poco de trigonometría.

Suponga que usted sabe que una bola está rodando en una mesa plana a 15 grados de una dirección paralela al borde inferior a una velocidad de 7.0 metros/segundo. Es posible que desee averiguar cuánto tiempo tardará la pelota en rodar desde el borde 1,0 metro a la derecha.

Defina sus ejes de manera que la bola esté en el origen inicialmente y el eje x sea paralelo al borde inferior de la tabla (consulte la figura). Por lo tanto, el problema es averiguar cuánto tiempo tardará la bola en rodar 1,0 metros en la dirección x. Para encontrar el tiempo, primero necesitas saber cuán rápido se mueve la bola en la dirección x.

El problema te dice que la bola está rodando a una velocidad de 7.0 metros/segundo a 15 grados de la horizontal (a lo largo del eje x positivo), que es un vector: 7.0 metros/segundo a 15 grados te da tanto una magnitud como una dirección. Lo que tienes aquí es una velocidad, la versión vectorial de la velocidad. La velocidad de la bola es la magnitud de su vector de velocidad, y cuando se incluye una dirección a esa velocidad, se obtiene el vector de velocidad vectorial.

Para saber cuán rápido se desplaza la bola hacia el borde de la mesa, no se necesita la velocidad total de la bola, sino el componente x de la velocidad de la bola. El componente x es un escalar (un número, no un vector), y lo escribes así: vx. El componente y del vector de velocidad de la bola es vy. Por lo tanto, se puede decir que

v = (vx, vy)

Así es como expresas la ruptura de un vector en sus componentes. Entonces, ¿qué es VX aquí? Y para el caso, ¿qué es vy, el componente y de la velocidad? El vector tiene una longitud (7,0 metros/segundo) y una dirección

Y sabes que el borde de la mesa está a 1,0 metros a la derecha.

Como puedes ver en la figura, tienes que usar un poco de trigonometría para resolver este vector en sus componentes. No hay problema. La trigonometría es fácil después de que se bajan los ángulos que se ven en la figura.

La magnitud de un vector vectorial se expresa como v, y de la figura se puede ver que lo siguiente es cierto:

Las dos ecuaciones de componentes vectoriales merecen la pena conocerlas porque se ven mucho en cualquier curso de física principiante. Asegúrese de saber cómo funcionan y de tenerlos siempre al alcance de la mano.

Por supuesto, si olvidas estas ecuaciones, siempre puedes recuperarlas de la trigonometría básica. Puedes recordar que el seno y el coseno de un ángulo en un triángulo recto se definen como la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente a la hipotenusa, así:

Multiplicando ambos lados de estas ecuaciones por v, puedes expresar las componentes x e y del vector como

Puedes ir más lejos relacionando cada lado del triángulo entre sí (y si sabes que

puedes derivar todo esto de las dos ecuaciones anteriores según sea necesario; no es necesario memorizar todo esto):

Sabes que

para que puedas encontrar la componente x de la velocidad de la bola, vx, de esta manera:

Conectar los números te da

Ahora sabes que la pelota se desplaza a 6,8 metros/segundo a la derecha. Y como también sabes que el borde de la mesa está a 1,0 metros de distancia, puedes dividir la distancia por la velocidad para obtener el tiempo:

Debido a que usted sabe cuán rápido va la pelota en la dirección x, ahora sabe la respuesta al problema: la pelota tardará 0,15 segundos en caer del borde de la mesa. ¿Qué hay del componente y de la velocidad? Eso también es fácil de encontrar:

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