Cómo encontrar el Extrema Absoluto sobre el Dominio Completo de una Función

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Por Mark Ryan

El máximo absoluto y el mínimo absoluto de una función en todo su dominio son los valores más altos y más bajos (alturas) de la función en cualquier lugar donde esté definida. Cuando se considera el dominio completo de una función, una función puede tener un máximo absoluto o un mínimo o ambos o ninguno. Por ejemplo, la parábola y = x2 tiene un mínimo absoluto en el punto (0,0) – la parte inferior de su forma de copa – pero no un máximo absoluto porque sube para siempre a la izquierda y a la derecha. Podrías pensar que su máximo absoluto sería infinito, pero el infinito no es un número y por lo tanto no califica como un máximo (lo mismo para usar el infinito negativo como un mínimo absoluto).

Por un lado, la idea del punto más alto y el punto más bajo de una función parece bastante simple, ¿no? Pero hay una llave inglesa en marcha. La llave inglesa es la categoría de cosas que no califican como maxes o mins.

Dos funciones sin extremos absolutos.

En la figura, hay «endpoints» vacíos como (3,4) en f (x). f (x) no tiene un máximo absoluto. Su máximo no es 4 porque nunca llega a 4, y su máximo no puede ser nada menos que 4, como 3.999, porque es más alto que eso, digamos 3.9999. Del mismo modo, un agujero infinitesimal en una función no puede calificarse como máximo o mínimo. Por ejemplo, considere la función de valor absoluto,

ya sabes, la función en forma de V con la esquina afilada en el origen. No tiene un máximo absoluto porque sube hasta el infinito. Su mínimo absoluto es cero (a (0, 0) por supuesto). Pero ahora, digamos que alteras la función ligeramente arrancando el punto en (0, 0) y dejando un agujero infinitesimal allí. Ahora la función no tiene un mínimo absoluto.

Ahora considere g (x) en la figura. Muestra otro tipo de situación que no califica como min (o max). g (x) no tiene min absoluto. Yendo a la izquierda, g se arrastra a lo largo de la asíntota horizontal a y = 0, siempre más y más abajo, pero nunca tan bajo como cero. Ya que nunca llega a cero, cero no puede ser el mínimo absoluto, y no puede haber ningún otro mínimo absoluto (como, digamos, 0.0001) porque en algún punto a la izquierda, g llegará por debajo de cualquier número pequeño que puedas nombrar.

Teniendo esto en cuenta, he aquí un enfoque paso a paso para localizar los máximos y mínimos absolutos de una función (si los hay):

  1. Encuentra la altura de la función en cada uno de sus números críticos. (Recuerde que los números críticos de una función son los valores x dentro del dominio de la función donde la derivada es cero o indefinida.) Considere todos los números críticos, no sólo los de un intervalo dado. El más alto de estos valores será el máximo absoluto de la función, a menos que la función vaya más alto que ese punto, en cuyo caso la función no tendrá un máximo absoluto. El valor más bajo de estos valores será el mínimo absoluto de la función, a menos que la función sea inferior a ese punto, en cuyo caso no tendrá un mínimo absoluto. Los pasos 2 y 3 le ayudarán a averiguar si la función va más arriba del punto crítico más alto y/o más abajo del punto crítico más bajo. Si aplica los pasos 1 a g (x) de la figura, descubrirá que no tiene puntos críticos. Cuando esto ocurra, estarás acabado. La función no tiene un máximo absoluto ni un mínimo absoluto.
  2. Si una función sube al infinito positivo o baja al infinito negativo, lo hace en su extremo derecho o izquierdo o en una asíntota vertical. Por lo tanto, evalúe – el llamado comportamiento final de la función – y el límite de la función a medida que x se acerca a cada asíntota vertical (si la hay) desde la izquierda y desde la derecha. Si la función sube al infinito, no tiene un máximo absoluto; si baja al infinito negativo, no tiene un mínimo absoluto.
  3. Grafica la función para comprobar si hay asíntotas horizontales y características raras como la discontinuidad del salto en f (x) en la figura.Mira el gráfico de la función. Si se ve que la función es superior al más alto de sus puntos críticos, no tiene un máximo absoluto; si es inferior al más bajo de sus puntos críticos, no tiene un mínimo absoluto. Aplicando este proceso de 3 pasos a f (x) en la figura, el Paso 1 revelaría dos puntos críticos: el punto final en (3, 1) y el máximo local en aproximadamente (4.1, 1.3). En el Paso 2, hallarás que f desciende hasta el infinito negativo y por lo tanto no tiene un mínimo absoluto. Finalmente, en el Paso 3, verás que f va más alto que el más alto de los puntos críticos, (4.1, 1.3), y que, por lo tanto, no tiene un máximo absoluto. ¡Estás acabado!

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