Cómo encontrar el seno de un ángulo doble

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Se utiliza una fórmula de doble ángulo para encontrar el valor trigonométrico de dos veces un ángulo. A veces conoces el ángulo original y a veces no. Trabajar con fórmulas de doble ángulo es muy útil cuando se le da el seno de un ángulo y necesita encontrar el valor exacto de trigonométrica del doble de ese ángulo sin conocer la medida del ángulo original.

Nota: Si conoce el ángulo original en cuestión, encontrar el seno de dos veces ese ángulo es fácil; puede buscarlo en el círculo de la unidad (mostrado en la figura) o usar su calculadora para encontrar la respuesta.

Sin embargo,

si no tienes la medida del ángulo original y debes encontrar el valor exacto del doble de ese ángulo, el proceso no es tan simple. Sigue leyendo!

Para entender completamente y ser capaz de guardar la fórmula de doble ángulo para el seno, primero debes entender de dónde viene. (Las fórmulas de doble ángulo para seno, coseno y tangente son extremadamente diferentes entre sí, aunque todas pueden ser derivadas usando las fórmulas de suma.)

  1. Para encontrar el pecado 2x, debes darte cuenta de que es lo mismo que pecado(x + x).
  2. Utilice la fórmula de suma para el seno,
  3. Simplificar para obtener Esta fórmula se llama la fórmula de doble ángulo para el seno. Si te dan una ecuación con más de una función trigonométrica y te piden que resuelvas el ángulo, tu mejor opción es expresar la ecuación en términos de una función trigonométrica solamente. A menudo se puede lograr esto utilizando la fórmula de doble ángulo.

Para resolver

nota que no es igual a 0, así que no puedes tenerlo en cuenta. Aunque reste 1 de ambos lados para obtener 0, no puede ser factorizado. Así que no hay solución, ¿verdad? No exactamente. Tienes que comprobar las identidades primero. La fórmula de doble ángulo, por ejemplo, dice que

Puedes reescribir algunas cosas aquí:

  1. Enumere la información dada.
  2. Reescribe la ecuación para encontrar una posible identidad.
  3. Aplique la fórmula correcta, la fórmula de doble ángulo para el seno le da
  4. Simplifique la ecuación y aísle la función trigonométrica, desglósela y conviértala en sin 4x = 1/2.
  5. Encuentra todas las soluciones para la ecuación de trigonometría, este paso te da donde k es un entero. Tenga en cuenta que hay dos conjuntos de soluciones porque el pecado (pi/6) y el pecado (5pi/6) son iguales en ½ La notación se utiliza para representar el hecho de que la función seno tiene un período de 2pi, lo que significa que se repite cada 2pi unidades. Entonces puedes dividir todo por 4, lo que te da las soluciones:

Estas soluciones son las generales, pero a veces puede que tenga que utilizar esta información para llegar a una solución en un intervalo.

Encontrar las soluciones en un intervalo es una bola curva que se le lanza en el pre-cálculo. Para este problema, puede encontrar un total de ocho ángulos en el intervalo[0, 2pi]. Debido a que un coeficiente estaba delante de la variable, te quedas con, en este caso, cuatro veces más soluciones, y debes enunciarlas todas. Tienes que encontrar el denominador común para sumar las fracciones.

Hacer esto una vez más te da

que no está en el intervalo[0, 2pi]. Mientras tanto,

Usted se detiene ahí, porque si añade pi/2 una vez más, obtendrá una solución que no está en el intervalo[0, 2pi].

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