Cómo encontrar la distribución de muestreo de una cuota de muestreo

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Por Deborah J. Rumsey

Si utiliza un tamaño de muestra estadístico suficientemente grande, puede aplicar el Teorema del límite central (CLT) a una proporción de muestra para datos categóricos para encontrar su distribución de muestreo. La proporción de población, p, es la proporción de individuos en la población que tienen una cierta característica de interés (por ejemplo, la proporción de todos los estadounidenses que son votantes registrados, o la proporción de todos los adolescentes que poseen teléfonos celulares). La proporción de la muestra, denominada

(pronunciado p-hat), es la proporción de individuos en la muestra que tienen esa característica particular; en otras palabras, el número de individuos en la muestra que tienen esa característica de interés dividido por el tamaño total de la muestra (n).

Por ejemplo, si usted toma una muestra de 100 adolescentes y encuentra 60 de ellos con su propio teléfono celular, la proporción de muestra de adolescentes que poseen un teléfono celular es la siguiente

La distribución del muestreo de

tiene las siguientes propiedades:

  • Su significado, denotado por
  • (pronunciado mu sub-p-hat), es igual a la proporción de población, p.
  • Su error estándar, denotado por
  • (digamos sigma sub-p-hat), es igual:
  • (Nótese que debido a que n está en el denominador, el error estándar disminuye a medida que aumenta n.)
  • Debido a la CLT, su forma es aproximadamente normal, siempre que el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande. Por lo tanto, puede utilizar la distribución normal para encontrar probabilidades aproximadas para
  • Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra (n) o cuanto más cerca esté p de 0,50, más cerca estará la distribución de la proporción de la muestra de una distribución normal.

Si está interesado en el número (más que en la proporción) de individuos de su muestreo con la característica de interés, utilice la distribución binomial para buscar probabilidades para sus resultados.

¿Qué tan grande es lo suficientemente grande para que el CLT funcione para proporciones de muestra? La mayoría de los estadísticos están de acuerdo en que tanto np como n(1 – p) deben ser mayores o iguales a 10. Es decir, el número medio de éxitos (np) y el número medio de fracasos n(1 – p) debe ser de al menos 10.

Porcentajes de la población para las respuestas a la pregunta de ayuda matemática del ACT.

Para ayudar a ilustrar la distribución del muestreo de la proporción de la muestra, considere una encuesta estudiantil que acompaña al examen ACT cada año preguntando si el estudiante desea alguna ayuda con las habilidades matemáticas. Suponga (a través de investigaciones anteriores) que el 38% de todos los estudiantes que toman el ACT responden sí. Esto significa que p, la proporción de población, es igual a 0,38 en este caso. La distribución de las respuestas (sí, no) para esta población se muestra en la figura anterior como un gráfico de barras.

Debido a que el 38% se aplica a todos los estudiantes que toman el examen, puede usar p para denotar la proporción de la población, en lugar de

que denota proporciones de muestra. Típicamente p es desconocido, pero este ejemplo le da un valor para señalar cómo se comportan las proporciones de la muestra de las muestras tomadas de la población en relación con la proporción de población.

Distribución de la muestra de la proporción de estudiantes que respondieron afirmativamente a la pregunta de ayuda en matemáticas del ACT para muestras de tamaño 1,000.

Ahora tome todas las muestras posibles de n = 1,000 estudiantes de esta población y encuentre la proporción en cada muestra que dijo que necesitaba ayuda en matemáticas. La distribución de estas proporciones de la muestra se muestra en la figura anterior. Tiene una distribución normal aproximada con una media de p = 0,38 y un error estándar igual a:

(alrededor del 1,5%).

La distribución normal aproximada funciona porque se cumplen las dos condiciones para el CLT:

Y debido a que n es tan grande (1.000), la aproximación es excelente.

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