Cómo encontrar el valor medio con el teorema del valor medio para integrales

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Puede encontrar el valor medio de una función en un intervalo cerrado utilizando el teorema del valor medio para integrales. La mejor manera de entender el teorema del valor medio para integrales es con un diagrama – mire la siguiente figura.

El gráfico de la izquierda muestra un rectángulo cuya superficie es claramente inferior a la de la curva entre 2 y 5. Este rectángulo tiene una altura igual al punto más bajo de la curva en el intervalo de 2 a 5.

El gráfico del medio muestra un rectángulo cuya altura es igual al punto más alto de la curva. Su área es claramente mayor que el área bajo la curva. A estas alturas ya estás pensando: «¿No hay un rectángulo más alto que el bajo y más bajo que el alto, cuya área es la misma que la que está debajo de la curva? Por supuesto. Y este rectángulo obviamente cruza la curva en algún punto del intervalo. Este llamado rectángulo de valor medio, que se muestra a la derecha, resume básicamente el Teorema de Valor Medio para Integrales.

En realidad es sólo sentido común. Pero aquí está la jerga.

Teorema del valor medio para integrales: Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado[a, b], entonces existe un número c en el intervalo cerrado tal que

El teorema básicamente sólo garantiza la existencia del rectángulo de valor medio.

El área del rectángulo del valor medio – que es la misma que el área debajo de la curva – es igual a la longitud por el ancho, o la base por la altura, ¿verdad?

Esta altura es el valor medio de la función durante el intervalo en cuestión.

Aquí hay un ejemplo. Cuál es la velocidad media de un coche entre t = 9 segundos y t = 16 segundos cuya velocidad en pies por segundo viene dada por la función,

Según la definición de valor medio, esta velocidad media viene dada por

  1. Determine el área bajo la curva entre 9 y 16. Esta área, por cierto, es la distancia total recorrida de 9 a 16 segundos. ¿Ves por qué? Considere el valor medio del rectángulo para este problema. Su altura es una velocidad (porque los valores de la función, o alturas, son velocidades) y su base es una cantidad de tiempo, por lo que su área es velocidad por tiempo que equivale a distancia. Alternativamente, recuerde que la derivada de la posición es la velocidad. Así, el antiderivado de la velocidad – lo que acabas de hacer en este paso – es la posición, y el cambio de posición de 9 a 16 segundos da la distancia total recorrida.
  2. Divide esta área, la distancia total, por el intervalo de tiempo de 9 a 16, a saber 7.≈ 105.7 pies por segundoTiene más sentido pensar en estos problemas en términos de división: el área es igual a la base por la altura, por lo que la altura del valor medio del rectángulo es igual a su área dividida por su base.

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