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- Cómo encontrar el volumen de un sólido entre dos superficies de la revolución
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Por Mark Zegarelli
Si desea encontrar el volumen de un sólido que cae entre dos superficies de revolución diferentes, puede utilizar el método de la cortadora de carne para hacerlo. El método de la cortadora de carne funciona mejor con sólidos que tienen secciones transversales similares. Este es el plan:
- Encuentra una expresión que represente el área de una sección transversal aleatoria del sólido en términos de x.
- Use esta expresión para construir una integral definida (en términos de dx) que represente el volumen del sólido.
- Evaluar esta integral.
El truco es encontrar una manera de describir el área en forma de dona de una sección transversal como la diferencia entre dos integrales: una integral que describe toda la forma menos otra que describe el agujero.
Por ejemplo, suponga que desea encontrar el volumen del sólido que se muestra aquí.
Un sólido en forma de jarrón entre dos superficies de revolución.
Este sólido parece algo así como un tazón girado de lado. El borde exterior es el sólido de la revolución alrededor del eje x para la función
El borde interior es el sólido de la revolución alrededor del eje x para la función
He aquí cómo resolver este problema:
- Encontrar una expresión que represente el área de una sección transversal aleatoria del sólido, es decir, encontrar el área de un círculo con un radio de y restar el área de un círculo con un radio de
- Utilice esta expresión para construir una integral definida que represente el volumen del sólido, los límites de la integración son 0 y 4:
- Resolver la integral: Ahora evalúa esta expresión:
He aquí otro problema: Encuentra el volumen del sólido que se muestra aquí.
Otro sólido formado entre dos superficies de revolución.
Este sólido cae entre la superficie de la revolución y = ln x y la superficie de la revolución
limitada por debajo por y = 0 y por arriba por y = 1.
La sección transversal de este sólido se muestra en el lado derecho de la figura: un círculo con un agujero en el centro.
Note, sin embargo, que esta sección transversal es perpendicular al eje y. Para utilizar el método de la cortadora de carne, la sección transversal debe ser perpendicular al eje x. Modificar el problema usando inversos:
El problema resultante se muestra en esta figura.
Use la opción inversa para rotar el problema de la figura anterior de modo que pueda usar el método de la cortadora de carne.
Ahora puede utilizar el método de la cortadora de carne para resolver el problema:
- Encontrar una expresión que represente el área de una sección transversal aleatoria del sólido, es decir, encontrar el área de un círculo con un radio de ex y restar el área de un círculo con un radio de Esto es sólo geometría. Recuerda que el área de un círculo es πr2
- Utilice esta expresión para construir una integral definida que represente el volumen del sólido, los límites de la integración son 0 y 1:
- Evaluar la integral: Así que el volumen de este sólido es de aproximadamente 9.179 unidades cúbicas.