Cómo encontrar el volumen de una forma utilizando el método de integración de la lavadora

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La geometría le dice cómo calcular los volúmenes de sólidos simples. La integración le permite calcular los volúmenes de una variedad infinita de formas mucho más complicadas. Si tiene una forma circular con un agujero circular en el centro, puede usar el método de la arandela para encontrar su volumen cortando la forma en trozos finos y luego sumando los volúmenes de las rebanadas. No hay nada que hacer.

Aquí tienes.

y generar un sólido girando esa área alrededor del eje x.

Una pila de arandelas laterales – simplemente suma los volúmenes de todas las arandelas.

Sólo piensa: Todas las fuerzas del universo en evolución y todos los giros y vueltas de tu vida te han traído a este momento cuando finalmente eres capaz de calcular el volumen de esta extraña forma de cuenco – algo para tu diario. Entonces, ¿cuál es el volumen?

  1. Determine dónde se cruzan las dos curvas, de modo que el sólido en cuestión abarca el intervalo en el eje x de 0 a 1.
  2. La figura de arriba muestra una sección transversal típica de la forma tridimensional, pero girada para que la mires de frente. Cada rebanada tiene esta forma de arandela, por lo que su área es igual al área de todo el círculo menos el área del agujero. El área del círculo menos el agujero es donde R es el radio exterior (el radio grande) y r es el radio del agujero (el radio pequeño).
  3. Multiplique esta área por el espesor, dx, para obtener el volumen de una arandela representativa.
  4. Sume los volúmenes de las arandelas de 0 a 1 integrando.

Enfóquese en el simple hecho de que el área de una lavadora es el área de todo el disco,

menos el área del agujero,

Cuando te integras, obtienes

Esto es lo mismo, por supuesto, ya que

que es la fórmula dada en la mayoría de los libros. Pero si lo aprende de memoria, puede que lo olvide. Es más probable que recuerdes cómo hacer estos problemas si entiendes la simple idea de un círculo grande, menos uno pequeño.

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