Cómo Encontrar Extrema Local con la Segunda Prueba Derivada

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La Segunda Prueba Derivada se basa en dos ideas premiadas: Primero, que en la cima de una colina, un camino tiene forma de joroba – en otras palabras, se curva hacia abajo o es cóncavo hacia abajo. Y segundo, en el fondo de un valle, un camino tiene forma de copa, por lo que es curvado o cóncavo hacia arriba.

La concavidad de una función en un punto viene dada por su segunda derivada: Una segunda derivada positiva significa que la función es cóncava hacia arriba, una segunda derivada negativa significa que la función es cóncava hacia abajo, y una segunda derivada de cero es inconclusa (la función podría ser cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, o podría haber un punto de inflexión allí).

Todos los máximos y mínimos locales en el gráfico de una función – llamados extremos locales de la función – deben ocurrir en puntos críticos (donde la primera derivada es cero o indefinida). Por lo tanto, para usar la segunda prueba de derivación, primero tienes que calcular los números críticos, luego enchufar esos números en la segunda derivada y anotar si tus resultados son positivos, negativos o cero.

Ahora analice la siguiente función con el segundo test de derivación:

Primero, encuentra la primera derivada de f, y como necesitarás la segunda derivada más tarde, también podrías encontrarla ahora:

Luego, ponga la primera derivada igual a cero y resuelva para x.

x = 0, -2, o 2.

Estos tres valores de x son números críticos de f. (Podrían existir números críticos adicionales si la primera derivada no estuviera definida en algunos valores de x, pero debido a que la derivada es un polinomio, se define para todos los valores de x.)

Ahora, conecta los tres números críticos en la segunda derivada:

En -2, el segundo derivado es negativo (-240). Esto le dice que f es cóncavo hacia abajo donde x es igual a -2, y por lo tanto que hay un máximo local en -2. La segunda derivada es positiva (240) donde x es 2, así que f es cóncava hacia arriba y por lo tanto hay un min local en x = 2. Debido a que la segunda derivada es igual a cero en x = 0, la Segunda Prueba Derivada falla – no le dice nada acerca de la concavidad en x = 0 o si hay un mínimo o un máximo local allí. Cuando esto sucede, usted tiene que usar la Primera Prueba Derivada. En este ejemplo, encontrará que no hay ni un mínimo ni un máximo en x=0; hay un punto de inflexión allí.

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