Cómo Encontrar Extrema Local con la Primera Prueba Derivada

Todos los máximos y mínimos locales en el gráfico de una función – llamados extremos locales – ocurren en puntos críticos de la función (donde la derivada es cero o indefinida). (No olvide, sin embargo, que no todos los puntos críticos son necesariamente locales.

El primer paso para encontrar el extremo local de una función es encontrar sus números críticos (los valores x de los puntos críticos). A continuación, se utiliza el primer test derivado. Esta prueba se basa en las ideas del Premio Nobel de que cuando uno sube por la cima de una colina, primero sube y luego baja, y que cuando uno entra y sale de un valle, baja y luego sube. Esto del cálculo es increíble, ¿eh?

Para encontrar los números críticos de esta función, esto es lo que debe hacer.

  • Encuentra la primera derivada de f usando la regla de potencia.
  • Poner la derivada igual a cero y resolver para x.x = 0, -2, o 2. Estos tres valores de x son los números críticos de f.Números críticos adicionales podrían existir si la primera derivada no estuviera definida en algunos valores de x, pero debido a que la derivada está definida para todos los valores de entrada, el conjunto de soluciones anterior, 0, -2, y 2, es la lista completa de números críticos. Debido a que la derivada (y la pendiente) de f es igual a cero en estos tres números críticos, la curva tiene tangentes horizontales en estos números.
  • Ahora que tiene la lista de números críticos, necesita determinar si los picos o valles o ninguno de los dos ocurren en esos valores de x. Esto se puede hacer con el Primer Test Derivado. Aquí está el cómo:

  • Toma una línea numérica y escribe los números críticos que has encontrado: 0, -2, y 2. Divides esta línea numérica en cuatro regiones: a la izquierda de -2, de -2 a 0, de 0 a 2, y a la derecha de 2.
  • Escoja un valor de cada región, conéctelo a la primera derivada y anote si su resultado es positivo o negativo. para este ejemplo, puede usar los números -3, -1, 1, y 3 para probar las regiones. estos cuatro resultados son, respectivamente, positivos, negativos, negativos y positivos.
  • Tome su línea numérica, marque cada región con el signo positivo o negativo apropiado, e indique donde la función está aumentando y disminuyendo, aumentando donde la derivada es positiva y disminuyendo donde la derivada es negativa. El resultado es un gráfico de signos para la función. esta figura simplemente te dice lo que ya sabes si has mirado el gráfico de f – que la función sube hasta -2, baja de -2 a 0, baja más de 0 a 2, y sube de nuevo de 2 en adelante. ahora, aquí está la ciencia de los cohetes. La función cambia de aumentar a disminuir a -2; en otras palabras, sube a -2 y luego baja. Así que, a -2, tienes una colina o un máximo local. Por el contrario, debido a que la función cambia de disminuir a aumentar a 2, usted tiene un valle allí o un mínimo local. Y como el signo de la primera derivada no cambia a cero, no hay ni un mínimo ni un máximo en ese valor de x.
  • Obtenga los valores de las funciones (en otras palabras, las alturas) de estos dos extremos locales conectando los valores de x en la función original. Estás acabado.
  • Para usar la Primera Prueba Derivada para probar un extremo local en un número crítico particular, la función debe ser continua en ese valor de x.

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