Cómo encontrar gráficamente el límite de una función

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Cuando te dan el gráfico de una función y tu profesor de pre-cálculo te pide que encuentres el límite, lees los valores del gráfico – algo que has estado haciendo desde que aprendiste lo que era un gráfico! Si buscas un límite desde la izquierda, sigue esa función desde el lado izquierdo hacia el valor de x en cuestión. Repita este proceso desde la derecha para encontrar el límite derecho. Si el valor de y que se aproxima desde la izquierda es el mismo que el valor de y que se aproxima desde la derecha (¿se encontraron los lápices?), ese valor de y es el límite. Debido a que el proceso de graficar una función puede ser largo y complicado, no debería usar el método de graficar a menos que se le haya dado el gráfico.

Búsqueda gráfica del límite de una función.

Por ejemplo, buscar

en la figura anterior.

Puede ver que a medida que el valor de x se acerca cada vez más a -1, el valor de la función f(x) se acerca a 6. Y de hecho, cuando x llega a -1, el valor de la función es 6! Técnicamente, sin embargo, tener f(-1) = 6 no es necesario para decir que el límite es 6; la función podría tener un agujero en él en ese punto, ¡y el límite seguiría siendo 6! Vea el siguiente ejemplo:

En el gráfico, puedes ver un agujero en la función en x = 3, lo que significa que la función no está definida – pero eso no significa que no puedas establecer un límite. Si miras los valores de la función desde la izquierda,

y por la derecha,

ves que el valor de y se aproxima a 3. Entonces usted dice que el límite de la función cuando x se acerca a 3 es 3.

Puede ver que la función tiene una asíntota vertical en x = -5. Desde la izquierda, la función se acerca al infinito negativo a medida que se acerca a x = -5. Puede expresarlo matemáticamente de la siguiente manera

Desde la derecha, la función se acerca al infinito a medida que se acerca a x = -5. Escriba esta situación como

Por lo tanto, el límite no existe en este valor, porque el límite izquierdo es infinito negativo pero el límite derecho es infinito.

Para que una función tenga un límite, los límites izquierdo y derecho deben ser los mismos. Una función puede tener un agujero en el gráfico en un valor de x en particular, pero el límite a medida que x se acerca a este valor puede existir, como por ejemplo

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