Cómo encontrar el límite de una función algebraicamente

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Cuando tu profesor de pre-cálculo te pide que encuentres el límite de una función algebraicamente, tienes cuatro técnicas para elegir: enchufar el valor x, factorizar, racionalizar el numerador, y encontrar el mínimo común denominador.

El mejor lugar para empezar es la primera técnica. Sólo se puede utilizar esta técnica si la función es continua en el valor x al que se está tomando el límite. Si la función no está definida en este valor x, debe pasar a las otras técnicas para simplificar su función de modo que pueda conectar el valor aproximado para x.

Encuentra el límite enchufando el valor x

La primera técnica para resolver algebraicamente un límite es conectar el número que x se aproxima a la función. Si obtiene un valor no definido (0 en el denominador), debe pasar a otra técnica. Pero si su función es continua en ese valor x, obtendrá un valor, y está hecho; ¡ha encontrado su límite! Por ejemplo, con este método puede encontrar este límite:

El límite es 3, porque f(5) = 3 y esta función es continua en x = 5.

Encuentre el límite mediante el factoraje

El factoraje es el método que se debe probar cuando falla la conexión, especialmente cuando cualquier parte de la función dada es una expresión polinómica.

Digamos que te piden que encuentres este límite:

Primero intentas conectar 4 a la función, y obtienes 0 en el numerador y el denominador, lo que te dice que pases a la siguiente técnica. La expresión cuadrática en el numerador grita para que intentes factorizarla. Observe que el numerador de los factores de función anteriores a (x – 4)(x – 2). La x – 4 se cancela en la parte superior e inferior de la fracción. Este paso le deja con f(x) = x – 2. Puede conectar 4 en esta función continua para obtener 2.

Si grafica esta función, se parece a la línea recta f(x) = x – 2, pero tiene un agujero cuando x = 4 porque la función original todavía no está definida allí (porque crea 0 en el denominador). La figura ilustra esto.

Si, después de haber factorizado la parte superior e inferior de la fracción, un término en el denominador no se canceló y el valor que estás buscando no está definido, el límite de la función a ese valor de x no existe (que puedes escribir como DNE).

Por ejemplo, esta función tiene en cuenta los factores que se muestran a continuación:

El (x – 7) en la parte superior e inferior cancela. Así que si se te pide que encuentres el límite de la función a medida que x se acerca a 7, puedes conectar 7 en la versión cancelada y obtener 11/8. Pero si estás tratando de encontrar

el límite DNE, porque obtendrías 0 en el denominador. Esta función, por lo tanto, tiene un límite en cualquier lugar excepto cuando x se acerca a -1.

Encuentra el límite racionalizando el numerador

La tercera técnica que necesitas conocer para encontrar límites algebraicamente requiere que racionalices el numerador. Las funciones que requieren este método tienen una raíz cuadrada en el numerador y una expresión polinómica en el denominador. Por ejemplo, digamos que se le pide que encuentre el límite de esta función a medida que x se acerca a 13:

Enchufar números falla cuando se obtiene 0 en el denominador de la fracción. El factoraje falla porque la ecuación no tiene polinomio al factor. En esta situación, si multiplicas el numerador y el denominador por el conjugado del numerador, el término en el denominador que era un problema se cancela, y podrás encontrar el límite:

  1. Multiplica la parte superior e inferior de la fracción por el conjugado.El conjugado del numerador esMultiplicando, obtienes esta configuración: FOIL el numerador a obtener, que se simplifica a x – 13 (los dos términos del medio cancelan y combinas términos similares del FOIL).
  2. Cancelar le da esta expresión: Los términos (x – 13) se cancelan, dejándole con este resultado:
  3. Calcula los límites, cuando conectas 13 a la función, obtienes 1/6, que es el límite.

Encontrar el límite encontrando el mínimo común denominador

Cuando se le da una función racional compleja, se utiliza la cuarta y última técnica algebraica de búsqueda de límites. La técnica del taponamiento falla, porque terminas con un 0 en uno de los denominadores. La función no es factorizable, y usted no tiene raíces cuadradas que racionalizar. Por lo tanto, usted sabe que debe pasar a la última técnica. Con este método, se combinan las funciones encontrando el mínimo común denominador (LCD). Las condiciones se cancelan, momento en el que se puede encontrar el límite.

Por ejemplo, siga los pasos para encontrar el límite:

  1. Encuentra el LCD de las fracciones en la parte superior.
  2. Distribuya los numeradores en la parte superior.
  3. Sumar o restar los numeradores y luego cancelar los términos.
  4. Utilice las reglas para las fracciones para simplificar aún más.
  5. Usted quiere encontrar el límite cuando x se acerca a 0, así que el límite aquí es -1/36.

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