Cómo encontrar la distancia de cambio entre dos objetos en movimiento

En un problema típico de tasas relacionadas, como cuando se encuentra un cambio en la distancia entre dos objetos en movimiento, la tasa o tasas en la información dada son constantes, no cambian, y usted tiene que averiguar una tasa relacionada que está cambiando con el tiempo. Debe determinar esta tasa relacionada en un momento determinado.

Aquí hay un ejemplo: Un auto sale de una intersección viajando hacia el norte a 50 mph, otro se dirige al oeste hacia la intersección a 40 mph. En un punto, el carro en dirección norte está a tres décimas de milla al norte de la intersección, y el carro en dirección oeste está a cuatro décimas de milla al este de ella. En este punto, ¿qué tan rápida es la distancia entre los coches que cambian?

  • Comience por crear un diagrama. Antes de continuar con este problema, considere un problema similar con el que pueda tropezar si está usando un libro de texto de cálculo estándar. Se trata de una escalera que se apoya en una pared y se desliza por ella. ¿Puedes ver que el diagrama para tal problema de escalera sería muy similar a esta figura excepto que el eje y representaría la pared, el eje x sería el suelo, y la línea diagonal sería la escalera? Estos problemas son bastante similares, pero hay una diferencia importante. La distancia entre los coches está cambiando, así que la línea diagonal en la figura está marcada con una variable, s. Una escalera, por otro lado, tiene una longitud fija, así que la línea diagonal en su diagrama para el problema de la escalera estaría marcada con un número, no con una variable.
  • A medida que el carro A viaja hacia el norte, la distancia y está creciendo a 50 millas por hora. Eso es una tarifa, un cambio en la distancia por cambio en el tiempo. Así que, a medida que el coche B viaja hacia el oeste, la distancia x se reduce a 40 millas por hora. Esa es una tasa negativa: Tienes que averiguar qué tan rápido está cambiando s, así que,
  • Escribe la fórmula que relaciona las variables en el problema: x, y, y, y s. El teorema de Pitágoras, a2 + b2=c2, hará el truco para este problema del triángulo recto. En este problema, x e y son las piernas del triángulo recto, y s es la hipotenusa, así que x2 + y2=s2. El teorema de Pitágoras se utiliza mucho en problemas de tasas relacionadas. Si hay un triángulo rectángulo en su problema, es muy probable que a2 + b2=c2 sea la fórmula que usted necesita, ya que esta fórmula contiene las variables x, y, y, y s que aparecen en su lista de derivados en el Paso 2, no tiene que modificar esta fórmula.
  • Diferenciarse con respecto a t. (Recuerde, en un problema de tasas relacionado, todas las variables son tratadas como las ys en un problema de diferenciación implícita.)
  • Sustituye y resuelve por»Holy devoid distance lacking length, Batman. ¿Cómo puedes resolverlo a menos que tengas valores para el resto de las incógnitas en la ecuación?» «Puedes rechazar la respuesta negativa porque s obviamente tiene una longitud positiva. Así que s = 0.5. Ahora conecta todo en tu ecuación:
  • Esta respuesta negativa significa que la distancia, s, está disminuyendo.

    Así, cuando el carro A está a 3 cuadras al norte de la intersección y el carro B está a 4 cuadras al este de ella, la distancia entre ellos está disminuyendo a una velocidad de 2 mph.

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