Cómo encontrar la fórmula general para el enésimo término de una secuencia aritmética utilizando dos términos cualquiera

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

En algún momento, su profesor de pre-cálculo le pedirá que encuentre la fórmula general para el enésimo término de una secuencia aritmética sin conocer el primer término o la diferencia común. En este caso, se le darán dos términos (no necesariamente consecutivos), y usará esta información para encontrar a1 y d. Los pasos son: Encuentra la diferencia común d, escribe la fórmula específica para la secuencia dada, y luego encuentra el término que estás buscando.

Por ejemplo, para encontrar la fórmula general de una secuencia aritmética donde a4 = -23 y a22 = 40, siga estos pasos:

  1. Tienes que ser creativo para encontrar la diferencia común para este tipo de problemas.a.Usa la fórmula an = a1 + (n – 1)d para establecer dos ecuaciones que usen la información dada.Para la primera ecuación, sabes que cuando n = 4, an = -23:-23 = a1 + (4 – 1)d-23 = a1 + 3dF Para la segunda ecuación, sabes que cuando n = 22, an = 40:40 = a1 + (22 – 1)d40 = a1 + 21db.establece un sistema de ecuaciones y resuelve para d.El sistema tiene el siguiente aspecto: Puedes usar eliminación o sustitución para resolver el sistema. La eliminación funciona bien porque puedes multiplicar cualquier ecuación por -1 y sumar las dos para obtener 63 = 18d. Por lo tanto, d = 3,5.
  2. Este paso implica un poco de trabajo.a.Enchufar d en una de las ecuaciones a resolver para a1.Puedes volver a enchufar 3.5 en cualquier ecuación:-23 = a1 + 3(3.5), o a1 = -33.5.b.Usa a1 y d para encontrar la fórmula general para un.Este paso se convierte en una simple simplificación de tres pasos:an= -33.5 + (n – 1)3.5an = -33.5 + 3.5n + 3.5n – 3.5an= 3.5n – 37
  3. En este ejemplo, no se le pidió que encontrara ningún término específico (¡siempre lea las instrucciones!), pero si así fuera, podría conectar ese número para n y luego encontrar el término que estaba buscando.

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