Cómo encontrar la media, la desviación y la desviación estándar de una distribución binomial

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Por Deborah J. Rumsey

Debido a que la distribución binomial es tan comúnmente usada, los estadísticos siguieron adelante e hicieron todo el trabajo preliminar para encontrar fórmulas agradables y fáciles para encontrar su media, varianza y desviación estándar. Los siguientes resultados son los que surgieron de ello.

Si X tiene una distribución binomial con n ensayos y probabilidad de éxito p en cada ensayo, entonces:

  1. La media de X es
  2. La varianza de X es
  3. La desviación estándar de X es

Por ejemplo, supongamos que tiras una moneda justa 100 veces y dejas que X sea el número de cabezas; entonces X tiene una distribución binomial con n = 100 y p = 0,50. Su medio es

cabezas (lo que tiene sentido, porque si tiras una moneda 100 veces, esperarías obtener 50 cabezas). La varianza de X es

que está en unidades cuadradas (por lo que no se puede interpretar); y la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, que es 5. Esto significa que cuando se tira una moneda 100 veces, y se hace una y otra vez, el número promedio de cabezas que se obtiene es de 50, y se puede esperar que varíe en alrededor de 5 cabezas en promedio.

La fórmula para la media de una distribución binomial tiene un significado intuitivo. La p en la fórmula representa la probabilidad de un éxito, sí, pero también representa la proporción de éxitos que puede esperar en n ensayos. Por lo tanto, el número total de éxitos que usted puede esperar – es decir, la media de X – es

La fórmula para la varianza también tiene un significado intuitivo. La única variabilidad en los resultados de cada ensayo es entre el éxito (con probabilidad p) y el fracaso (con probabilidad 1 – p). En n ensayos, la varianza del número de éxitos y fracasos se mide por

La desviación estándar es sólo la raíz cuadrada.

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