Cómo encontrar los niveles de energía de los pozos cuadrados

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Por Steven Holzner

En física cuántica, si conoces las condiciones de contorno de un pozo cuadrado, puedes encontrar los niveles de energía de un electrón.

La ecuación

le dice que tiene que utilizar las condiciones de contorno para encontrar las constantes A y B. ¿Cuáles son las condiciones de contorno? La función de onda debe desaparecer en los límites de un pozo cuadrado infinito, así que

El hecho de que

le dice inmediatamente que B debe ser cero porque cos(0) = 1. Y el hecho de que

te dice que

Porque seno es cero cuando su argumento es un múltiplo de

esto significa que

Tenga en cuenta que aunque n = 0 es técnicamente una solución, produce

para todo x, que no es normalizable, así que no es una solución física – las soluciones físicas comienzan con n = 1.

Esta ecuación también se puede escribir como

Y porque

tienes la siguiente ecuación, donde n = 1, 2, 3, …. – esos son los estados de energía permitidos. Estos son estados cuantizados, correspondientes a los números cuánticos 1, 2, 3, y así sucesivamente:

Nota que el primer estado físico corresponde a n = 1, lo que te da la siguiente ecuación:

Este es el estado físico más bajo que las partículas pueden ocupar. Sólo por diversión, pon algunos números en esto, asumiendo que tienes un electrón, masa

confinado a un pozo cuadrado infinito de ancho del orden del radio de Bohr (el radio promedio de la órbita de un electrón en un átomo de hidrógeno); digamos que

te da esta energía para el estado de la tierra:

Esa es una cantidad muy pequeña, alrededor de 4 electronvoltios voltios (eV – la cantidad de energía que un electrón gana al caer a través de 1 voltio). Aún así, ya está en el orden de la energía del estado de la tierra de un electrón en el estado de la tierra de un átomo de hidrógeno (13.6 eV), así que puedes decir que ahora estás ciertamente en el estadio de física cuántica correcto.

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