Después de identificar que una variable aleatoria X tiene una distribución binomial, probablemente querrás encontrar probabilidades para X. La buena noticia es que no tienes que encontrarlas desde cero; puedes usar fórmulas estadísticas establecidas para encontrar probabilidades binomiales, usando los valores de n y p únicos para cada problema.
Las probabilidades de una variable aleatoria binomial X se pueden encontrar usando la siguiente fórmula para p(x):
dónde
- n es el número fijo de ensayos.
- x es el número especificado de éxitos.
- n – x es el número de fallos.
- p es la probabilidad de éxito en un ensayo determinado.
- 1 – p es la probabilidad de fracaso en un ensayo determinado. (Nota: Algunos libros de texto usan la letra q para indicar la probabilidad de fracaso en lugar de 1 – p.)
Estas probabilidades se mantienen para cualquier valor de X entre 0 (menor número de éxitos posibles en n ensayos) y n (mayor número de éxitos posibles).
El número de maneras de reordenar x éxitos entre n ensayos se llama «n elegir x», y la notación es
Es importante notar que esta expresión matemática no es una fracción; es taquigrafía matemática para representar el número de maneras de hacer estos tipos de reordenamientos.
En general, para calcular «n elegir x», se utiliza la siguiente fórmula:
La notación n! significa n-factorial, el número de formas de reorganizar n elementos. Para calcular n!, se multiplican n(n – 1)(n – 2) ….. (2)(1). Por ejemplo, 5! es 5(4)(3)(2)(1) = 120; 2! es 2(1) = 2; y 1! es 1. Por convención, 0! es 1.
Suponga que tiene que cruzar tres semáforos de camino al trabajo. Deje que X sea el número de luces rojas que usted golpeó de las tres. ¿De cuántas maneras puedes chocar dos semáforos en tu camino al trabajo? (Para este ejemplo, puede suponer que una luz amarilla equivale a una luz roja.) Bueno, puedes golpear una verde primero, luego las otras dos rojas; o puedes golpear la verde en el medio y tener las rojas para la primera y tercera luz, o puedes golpear la roja primero, luego otra roja y luego verde. Dejando G = verde y R = rojo, puedes escribir estas tres posibilidades como: GRR, RGR, RRG. Así que puedes golpear dos semáforos en tu camino al trabajo de tres maneras, ¿verdad?
Revisa los cálculos. En este ejemplo, un «ensayo» es un semáforo; y un «éxito» es un semáforo en rojo. (Sí, eso parece raro, pero un éxito es lo que te interesa contar, bueno o malo.) Así que tienes n = 3 semáforos en total, y estás interesado en la situación en la que obtienes x = 2 semáforos en rojo. Usando la notación de fantasía,
significa «3 elige 2» y representa el número de formas de reorganizar 2 éxitos en 3 pruebas.
Para calcular «3 escoja 2», haga lo siguiente:
Esto confirma las tres posibilidades enumeradas para obtener dos luces rojas.
Ahora supongamos que las luces funcionan independientemente unas de otras y que cada una de ellas tiene un 30% de probabilidad de estar en rojo. Suponga que desea encontrar la distribución de probabilidad para X. (Es decir, una lista de todos los valores posibles de X – 0,1,2,3 – y sus probabilidades.)
Antes de sumergirse en los cálculos, primero verifique si tiene una situación binomial aquí. Tiene n = 3 pruebas (semáforos) – verificar. Cada prueba es un éxito (luz roja) o un fracaso (luz amarilla o verde; en otras palabras, luz «no roja») – comprobar. Las luces funcionan de forma independiente, por lo que hay que encargarse de las pruebas independientes, y como cada luz es roja el 30% del tiempo, sabes p = 0,30 por cada luz. Así que X = número de semáforos rojos tiene una distribución binomial. Para rellenar las arenas de las fórmulas, 1 – p = probabilidad de una luz no roja = 1 – 0,30 = 0,70; y el número de luces no rojas es 3 – X.
Utilizando la fórmula para p(x), se obtienen las probabilidades para x = 0, 1, 2 y 3 luces rojas:
La distribución de probabilidad final para X se muestra en la siguiente tabla.
Note que estas probabilidades suman todas a 1 porque cada valor posible de X es listado y contabilizado.
Distribución de probabilidad para X = Número de semáforos rojos (n = 3, p = 0,30):
Xp(x)00.34310.44120.18930.027