Cómo encontrar raíces imaginarias usando el teorema fundamental del álgebra

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

El teorema fundamental del álgebra puede ayudarle a encontrar raíces imaginarias. Las raíces imaginarias aparecen en una ecuación cuadrática cuando el discriminante de la ecuación cuadrática – la parte bajo el signo de la raíz cuadrada (b2 – 4ac) – es negativa. Si este valor es negativo, no puedes tomar la raíz cuadrada, y las respuestas no son reales. En otras palabras, no hay una solución real; por lo tanto, el gráfico no cruzará el eje x.

Usar la fórmula cuadrática siempre te da dos soluciones, porque el signo más/menos significa que estás sumando y restando y obteniendo dos respuestas completamente diferentes. Cuando el número debajo del signo de raíz cuadrada en la fórmula cuadrática es negativo, las respuestas se llaman conjugados complejos. Uno es r + si y el otro es r – si. Estos números tienen partes reales (la r) e imaginarias (la si).

El complejo sistema numérico consiste en todos los números r+si donde r y s son números reales. Observa que cuando s=0, simplemente tienes los números reales. Por lo tanto, los números reales son un subconjunto del complejo sistema numérico. El teorema fundamental del álgebra dice que cada función polinómica tiene al menos una raíz en el complejo sistema numérico.

El grado más alto de un polinomio le da el mayor número posible de raíces complejas distintas para el polinomio. Entre este hecho y la regla de los signos de Descartes, se puede tener una idea de cuántas raíces imaginarias tiene un polinomio.

Así es como la regla de los signos de Descartes puede darte el número de posibles raíces reales, tanto positivas como negativas:

  • Raíces reales positivas. Para el número de raíces reales positivas, mire el polinomio, escrito en orden descendente, y cuente cuántas veces cambia el signo de un término a otro. Este valor representa el número máximo de raíces positivas en el polinomio. Por ejemplo, en el polinomio f(x) = 2×4 – 9×3 – 21×2 + 88x + 48, se ven dos cambios en el signo (¡no olvides incluir el signo del primer término!) – del primer término (+2×4) al segundo (-9×3) y del tercer término (-21×2) al cuarto (88x). La regla de los signos de Descartes dice que el número de raíces positivas es igual a los cambios en el signo f(x), o es menor que eso por un número par (por lo que se sigue restando 2 hasta que se obtiene 1 o 0). Por lo tanto, el anterior f(x) puede tener 2 ó 0 raíces positivas.
  • Raíces reales negativas. Para el número de raíces reales negativas, encuentra f(-x) y cuenta de nuevo. Debido a que los números negativos elevados a pares son positivos y los números negativos elevados a impares son negativos, este cambio afecta sólo a los términos con poderes impares. Este paso es lo mismo que cambiar cada término con un grado impar a su signo opuesto y contar los cambios de signo de nuevo, lo que le da el máximo número de raíces negativas. La ecuación de ejemplo es f(-x) = 2×4 + 9×3 – 21×2 – 88x + 48, que cambia los signos dos veces. Sin embargo, al igual que en el caso de las raíces positivas, el número de raíces negativas es igual a los cambios en el signo f(-x), o debe ser menor que éste en un número par. Por lo tanto, este ejemplo puede tener 2 ó 0 raíces negativas.

Emparejar cada número posible de raíces reales positivas con cada número posible de raíces reales negativas; el número restante de raíces para cada situación representa el número de raíces imaginarias.

Por ejemplo, el polinomio f(x) = 2×4 – 9×3 – 21×2 + 88x + 48 tiene un grado de 4, con dos o cero raíces reales positivas, y dos o cero raíces reales negativas. Con esta información, se pueden emparejar las situaciones posibles:

  • Dos raíces reales positivas y dos negativas, con cero raíces imaginarias
  • Dos raíces reales positivas y cero negativas, con dos raíces imaginarias
  • Cero raíces reales positivas y dos negativas, con dos raíces imaginarias
  • Cero raíces reales positivas y cero negativas, con cuatro raíces imaginarias

La siguiente tabla hace que la información sea más fácil de visualizar:

Raíces reales positivasRaíces reales negativasRaíces imaginarias22020202022004Los

números

complejos

se escriben en la forma r + si y tienen una parte real y otra imaginaria, por lo que cada polinomio tiene al menos una raíz en el sistema numérico complejo.

Los números reales e imaginarios están incluidos en el complejo sistema numérico. Los números reales no tienen una parte imaginaria, y los números puramente imaginarios no tienen una parte real. Por ejemplo, si x = 7 es una raíz del polinomio, esta raíz se considera real y compleja porque puede reescribirse como x = 7 + 0i (la parte imaginaria es 0).

El teorema fundamental del álgebra da el número total de raíces complejas (digamos que hay siete); la regla de los signos de Descartes te dice cuántas raíces reales posibles existen y cuántas de ellas son positivas y negativas (digamos que hay, como mucho, dos raíces positivas pero sólo una raíz negativa). Ahora, asume que los has encontrado todos: x = 1, x = 7, y x = -2. Estas raíces son reales, pero también son complejas porque todas pueden ser reescritas.

Las dos primeras columnas del gráfico encuentran las raíces reales y las clasifican como positivas o negativas. La tercera columna es en realidad encontrar, específicamente, los números no reales: números complejos con partes imaginarias que no son cero.

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