Cómo encontrar un percentil para una distribución normal

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Por Deborah J. Rumsey

Un problema popular de distribución normal implica encontrar percentiles para X. Es decir, se le da el porcentaje o probabilidad estadística de estar en o por debajo de un cierto valor de x, y tiene que encontrar el valor de x que le corresponde. Por ejemplo, si usted sabe que las personas cuyos puntajes de golf estaban en el 10% más bajo llegaron a ir a un torneo, puede que se pregunte cuál fue el puntaje de corte; ese puntaje representaría el percentil 10.

Un percentil no es un porcentaje. Un porcentaje es un número entre 0 y 100; un percentil es un valor de X (una altura, un coeficiente intelectual, una puntuación de prueba, etc.).

Ciertos percentiles son tan populares que tienen sus propios nombres y su propia notación. Los tres percentiles «denominados» son Q1 – el primer cuartil, o el percentil 25; Q2 – el segundo cuartil (también conocido como la mediana o el percentil 50); y Q3 – el tercer cuartil o el percentil 75.

Estos son los pasos para encontrar cualquier percentil para una distribución normal X:

  1. 1a.Si se te da la probabilidad (porcentaje) menor que x y necesitas encontrar x, traduce esto como: Halla un donde p(X < a) = p (y p es la probabilidad dada). Es decir, busca el percentil para X. Ve al Paso 2.
  2. 1b.Si se te da la probabilidad (porcentaje) mayor que x y necesitas encontrar x, traduce esto como: Halla b donde p(X > b) = p (y se da p). Reescribir esto como un problema de percentil (menos que): Halla b donde p(X < b) = 1 – p. Esto significa encontrar el percentil (1 – p)th para X.
  3. Encuentra el percentil correspondiente para Z mirando en el cuerpo de la tabla Z (ver abajo) y encontrando la probabilidad más cercana a p (desde el Paso 1a) o 1 – p (desde el Paso 1b) Encuentra la fila y columna en la que se encuentra esta probabilidad (usando la tabla hacia atrás). Este es el valor de z deseado.
  4. Vuelve a cambiar el valor de z por un valor de x (unidades originales) usando Has (¡por fin!) encontrado el percentil deseado para X. La fórmula en este paso es sólo una reescritura de la fórmula de z, así que está resuelta para x.

Aquí hay un ejemplo: Suponga que participa en un concurso de pesca. El concurso se realiza en un estanque donde las longitudes de los peces tienen una distribución normal con una media de 16 pulgadas y una desviación estándar de 4 pulgadas. Ahora supongamos que usted quiere saber cuál es la longitud que marca el 10 por ciento del fondo de todas las longitudes de los peces en el estanque. ¿Qué percentil estás buscando?

Estar en el 10 por ciento inferior significa que tienes una probabilidad «inferior» que es igual al 10 por ciento, y estás en el 10 por ciento.

Ahora ve al Paso 1a y traduce el problema. En este caso, debido a que estás tratando con una situación «menos que», quieres encontrar x de tal manera que p(X

10 por ciento de los peces del fondo del estanque, según la longitud.

Ahora ve al Paso 2, que dice que hay que encontrar el percentil 10 para Z.

Mirando en el cuerpo de la tabla Z, la probabilidad más cercana a 0.10 es 0.1003, que cae en la fila para z = -1.2 y la columna para 0.08. Esto significa que el percentil 10 para Z es -1,28; por lo tanto, un pez cuya longitud es 1,28 desviaciones estándar por debajo de la media marca el 10 por ciento inferior de todas las longitudes de los peces en el estanque.

Pero, ¿cuánto mide exactamente ese pez, en centímetros? En el Paso 3, cambias el valor z a un valor x (longitud del pez en pulgadas) usando la fórmula z resuelta para x; obtienes x = 16 + -1.28[4] = 10.88 pulgadas. Por lo tanto, 10,88 pulgadas marca el 10 por ciento más bajo de las longitudes de los peces. El diez por ciento de los peces son más cortos que eso.

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