Cómo encontrar una línea reflectante

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Por Mark Ryan

Cuando creas un reflejo de una figura, usas una línea especial, llamada (apropiadamente) una línea reflectante, para hacer la transformación. En la geometría de coordenadas, la línea reflectante se indica con una l minúscula.

Esta figura ilustra una propiedad importante de las líneas reflectantes: Si se forma el segmento RR’ conectando el punto de preimagen R con su punto de imagen R’ (o P con P’ o Q con Q’), la línea reflectante, l, es la mediatriz del segmento RR’.

Una línea reflectante es una bisectriz perpendicular. Cuando se refleja una figura, la línea reflectante es la bisectriz perpendicular de todos los segmentos que conectan los puntos de pre-imagen con sus correspondientes puntos de imagen.

He aquí un problema que utiliza esta idea: En la siguiente figura, el triángulo J’K’L’ es el reflejo del triángulo JKL sobre una línea reflectante. Halla la ecuación de la línea reflectante usando los puntos J y J’. A continuación, confirme que esta línea reflectante envía K a K’ y L a L’.

La línea reflectante es la bisectriz perpendicular de los segmentos que conectan los puntos de preimagen con sus puntos de imagen. Debido a que la mediatriz de un segmento pasa por el punto medio del segmento, lo primero que hay que hacer para encontrar la ecuación de la línea reflectante es encontrar el punto medio del segmento de línea JJ’:

A continuación, se necesita la pendiente del segmento de línea JJ’:

Ahora puedes terminar la primera parte del problema conectando la pendiente de 2 y el punto (5, 6) en la forma punto-pendiente para la ecuación de una recta:

Esa es la ecuación de la línea reflectante, en forma de intercepción de pendiente.

Para confirmar que esta línea reflectante envía K a K’ y L a L’, tiene que demostrar que esta línea es la mediatriz de los segmentos de línea KK’ y LL’. Para ello, debe demostrar que los puntos medios de los segmentos de línea KK’ y LL’ se encuentran en la línea y que las pendientes de los segmentos de línea KK’ y LL’ son ambas -1/2 (el recíproco opuesto de la pendiente de la línea reflectante, y = 2x – 4). Primero, aquí está el punto medio del segmento de línea KK’:

Conecta estas coordenadas en la ecuación y = 2x – 4 para ver si funcionan. Debido a que 12 = 2 (8) – 4, el punto medio del segmento de línea KK’ se encuentra en la línea reflectante. Ahora obtenga la pendiente del segmento de línea KK’:

Esta es la pendiente deseada, así que todo es copasetic para K y K’. Ahora calcula el punto medio del segmento de línea LL’:

Comprueba que estas coordenadas funcionan cuando las conectes a la ecuación de la línea reflectante, y = 2x – 4. Debido a que 10 = 2(7) – 4, el punto medio del segmento de línea LL’ está en la línea. Por último, encuentre la pendiente del segmento de línea LL’:

Esto se comprueba. Estás acabado.

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