Cómo encontrar valores propios de ímpetu angular

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Por Steven Holzner

Cuando se tienen los valores propios de los estados de momento angular en la mecánica cuántica, se puede resolver el Hamiltoniano y obtener los niveles de energía permitidos de un objeto con momento angular. Los valores propios del momento angular son los valores posibles que puede tomar el momento angular.

A continuación se muestra cómo derivar ecuaciones de estado propio con

Observe que L2 – Lz2 = Lx2 + Ly2, que es un número positivo, así que

Esto significa que

Y sustituyendo en

y usando el hecho de que los propios estados están normalizados, te da esto:

Así que hay un valor máximo posible de

que se puede llamar

Puedes ser inteligente ahora, porque tiene que haber un estado

de tal manera que no puedes criar

…ya no lo es más. Por lo tanto, si se aplica el operador de elevación, se obtiene cero:

Aplicando el operador de descenso a esto también le da cero:

Y porque

eso significa que lo siguiente es cierto:

Poner en

te da esto:

En este punto, es habitual renombrar

Puedes decir aún más. Además de un

también debe haber un

de manera que cuando se aplica el operador de descenso, L-, se obtiene cero, porque no se puede ir más bajo que

Y también puedes aplicar L+ en esto:

Desde

tú sabes que

lo que te da lo siguiente:

Y comparando esta ecuación con

te da

Tenga en cuenta que, dado que llega a

por n aplicaciones sucesivas de

obtienes lo siguiente:

Acoplando estas dos ecuaciones te da

Por lo tanto,

puede ser un número entero o medio entero (dependiendo de si n es par o impar).

Porque

y n es un número positivo, puedes encontrar que

Así que ahora lo tienes:

  • Los propios estados son: l, m >.
  • El número cuántico del momento angular total es l.
  • El número cuántico del momento angular a lo largo del eje z es m.

Por cada l, hay valores de 2l + 1 de m. Por ejemplo, si l = 2, entonces m puede ser igual a -2, -1, 0, 1, o 2.

En la figura se puede ver un representante de L y Lz.

z.»/>L y Lz.

L es el momento angular total y Lz es la proyección de ese momento angular total sobre el eje z.

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