Cómo trabajar con las series geométricas

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Las series geométricas son series relativamente simples pero importantes que se pueden utilizar como puntos de referencia para determinar la convergencia o divergencia de series más complicadas. Una serie geométrica es una serie de la forma:

El primer término, a, se llama el término principal. Cada término después del primero es igual al término anterior multiplicado por r, que se llama commonratio.

Por ejemplo, si a es 5 y r es 3, usted obtiene

Usted simplemente multiplica cada término por 3 para obtener el siguiente término. Por cierto, el 3 en este ejemplo se llama la commonratio porque la proporción de cualquier término dividido por su término anterior es igual a 3, pero probablemente tiene mucho más sentido pensar en el 3 como su multiplicador.

Si a es 100 y r es 0.1, obtienes

Y si a es 1/2 y r también es 1/2, obtienes la serie:

La regla de convergencia/divergencia para las series geométricas es muy sencilla.

Regla de las Series Geométricas:

(Tenga en cuenta que esta regla funciona cuando -1 < r < 0, in which case you get an alternatingseries.)

En el primer ejemplo, a = 5 y r = 3, por lo que las series difieren. En el segundo ejemplo, a es 100 y r es 0.1, por lo que la serie converge a

Esto es lo lejos que se camina si se empieza a 1 yarda de la pared, luego se camina hasta la mitad de la pared, luego la mitad de la distancia restante, y así sucesivamente. Das un número infinito de pasos, pero recorres un mero patio. ¿Y cuánto tiempo te llevará llegar a la pared? Bueno, si mantienes una velocidad constante y no te detienes entre pasos (lo que por supuesto es imposible), llegarás allí en la misma cantidad de tiempo que te llevaría caminar por cualquier patio viejo. Si hace una pausa entre pasos, aunque sea por una milmillonésima de segundo, nunca llegará a la pared.

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