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- Cómo encontrar los valores propios y los vectores propios de los hamiltonianos degenerados
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Por Steven Holzner
Usando la física cuántica, se pueden determinar los autovalores y los autovectores correspondientes para los sistemas en los que las energías están degeneradas. Echa un vistazo a este Hamiltoniano imperturbable:
En otras palabras, varios estados tienen la misma energía. Digamos que los estados de energía son degenerados, así:
¿Cómo afecta esto al cuadro de perturbación? El Hamiltoniano completo, H, está compuesto por el Hamiltoniano original, imperturbable, H0, y la perturbación Hamiltoniana,
En la aproximación de orden cero, puedes escribir la función propia
como una combinación de los estados degenerados
Observe que en lo que sigue, usted asume que
si m no es igual a n. Además, usted asume que el valor de
se normalizan, es decir,
Conectando esta ecuación de orden cero en la ecuación completa de Hamiltonianos, obtienes
Ahora multiplicando esa ecuación por
te da
Usando el hecho de que
si m no es igual a n te da
Los físicos a menudo escriben esa ecuación como
dónde
Y la gente también escribe esa ecuación como
donde E(1)n = En – E(0)n. Ese es un sistema de ecuaciones lineales, y la solución existe sólo cuando el determinante de este arreglo no desaparece:
El determinante de este arreglo es una ecuación de grado f en E(1)n, y tiene f diferentes raíces,
Esas diferentes raíces son las correcciones de primer orden de los Hamiltonianos. Normalmente, esas raíces son diferentes debido a la perturbación aplicada. En otras palabras, la perturbación típicamente se deshace de la degeneración.
Así que esta es la manera de encontrar los valores propios del primer orden – se establece una matriz de f-by-f de la perturbación Hamiltonian,
Luego diagonalice esta matriz y determine los valores propios
y los vectores propios correspondientes:
Luego se obtienen los valores propios de energía para el primer pedido de esta manera:
Y los vectores propios son