Cómo encontrar los valores propios y los vectores propios de los hamiltonianos degenerados

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Por Steven Holzner

Usando la física cuántica, se pueden determinar los autovalores y los autovectores correspondientes para los sistemas en los que las energías están degeneradas. Echa un vistazo a este Hamiltoniano imperturbable:

En otras palabras, varios estados tienen la misma energía. Digamos que los estados de energía son degenerados, así:

¿Cómo afecta esto al cuadro de perturbación? El Hamiltoniano completo, H, está compuesto por el Hamiltoniano original, imperturbable, H0, y la perturbación Hamiltoniana,

En la aproximación de orden cero, puedes escribir la función propia

como una combinación de los estados degenerados

Observe que en lo que sigue, usted asume que

si m no es igual a n. Además, usted asume que el valor de

se normalizan, es decir,

Conectando esta ecuación de orden cero en la ecuación completa de Hamiltonianos, obtienes

Ahora multiplicando esa ecuación por

te da

Usando el hecho de que

si m no es igual a n te da

Los físicos a menudo escriben esa ecuación como

dónde

Y la gente también escribe esa ecuación como

donde E(1)n = En – E(0)n. Ese es un sistema de ecuaciones lineales, y la solución existe sólo cuando el determinante de este arreglo no desaparece:

El determinante de este arreglo es una ecuación de grado f en E(1)n, y tiene f diferentes raíces,

Esas diferentes raíces son las correcciones de primer orden de los Hamiltonianos. Normalmente, esas raíces son diferentes debido a la perturbación aplicada. En otras palabras, la perturbación típicamente se deshace de la degeneración.

Así que esta es la manera de encontrar los valores propios del primer orden – se establece una matriz de f-by-f de la perturbación Hamiltonian,

Luego diagonalice esta matriz y determine los valores propios

y los vectores propios correspondientes:

Luego se obtienen los valores propios de energía para el primer pedido de esta manera:

Y los vectores propios son

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