Cómo encontrar los vectores propios y los valores propios de un operador

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Por Steven Holzner

En física cuántica, si te dan un operador en forma de matriz, puedes encontrar sus propios vectores y valores propios. Por ejemplo, digamos que necesitas resolver la siguiente ecuación:

Primero, puedes reescribir esta ecuación como sigue:

I representa la matriz de identidad, con 1s a lo largo de su diagonal y 0s en caso contrario:

Recuerde que la solución a la

sólo existe si el determinante de la matriz A – aI es 0:

det(A – aI) = 0

Cómo encontrar los valores propios

Cualquier valor de a que satisfaga la ecuación det(A – aI) = 0 son valores propios de la ecuación original. Intenta encontrar los valores propios y los vectores propios de la siguiente matriz:

Primero, convierta la matriz en la forma A – aI:

Luego, encuentre el determinante:

Y esto puede ser factorizado de la siguiente manera:

Sabes que det(A – aI) = 0, así que los valores propios de A son las raíces de esta ecuación; a1 = -2 y a2 = -3.

Cómo encontrar los vectores propios

¿Qué tal si encontramos los vectores propios? Para encontrar el vector propio correspondiente a a1, sustituya a1 – el primer valor propio, -2 – en la matriz en la forma A – aI:

Así que tienes

Porque cada fila de esta ecuación matricial debe ser verdadera, sabes que

Y eso significa que, hasta una constante arbitraria, el vector propio correspondiente a a1 es el siguiente:

Suelta la constante arbitraria, y escribe esto como una matriz:

¿Qué tal el vector propio correspondiente a a a2? Conectando a2, -3, en la matriz en forma de A -aI, se obtiene lo siguiente:

Entonces tienes

Y eso significa que, hasta una constante arbitraria, el vector propio correspondiente a a2 es

Suelte la constante arbitraria:

Así que los valores propios de este operador de matriz

son a1 = -2 y a2 = -3. Y el vector propio correspondiente a a1 es

El vector propio correspondiente a a2 es

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