Cómo encontrar las funciones propias de L2 en coordenadas esféricas

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Por Steven Holzner

Su instructor de física cuántica puede pedirle que encuentre las funciones propias de L2 en coordenadas esféricas. Para ello, empiece con la función propia de

dado que en coordenadas esféricas, el operador L2 tiene este aspecto:

Es todo un operador. Y, dado que

puede aplicar el operador L2 a

lo que te da lo siguiente:

Y porque

esta ecuación se convierte en

Vaya, ¿en qué te has metido? Cancelar los términos y restar el lado derecho del izquierdo finalmente te da esta ecuación diferencial:

Combinando términos y dividiendo por

le da lo siguiente:

¡Santo cielo! ¿No hay alguien que haya intentado resolver este tipo de ecuación diferencial antes? Sí, la hay. Esta ecuación es una ecuación diferencial de Legendre, y las soluciones son bien conocidas. En general, las soluciones toman esta forma:

dónde

es la función Legendre.

¿Cuáles son las funciones de Legendre? Puede empezar por separar la dependencia m, que funciona de esta manera con las funciones de Legendre:

donde Pl(x) es llamado un polinomio de Legendre y es dado por la fórmula de Rodrigues:

Puedes usar esta ecuación para derivar los primeros polinomios de Legendre de esta manera:

y así sucesivamente. Así es como se ven los primeros polinomios Pl(x). ¿Cómo son las funciones asociadas de Legendre, Plm(x)? También puede calcularlos. Puedes empezar con Pl0(x), donde m = 0. Ésos son fáciles porque Pl0(x) = Pl(x), así que

Además, usted puede encontrar que

Estas ecuaciones te dan una visión general de cómo son las funciones de Plm, lo que significa que ya casi has terminado. Como recordarás,

está relacionado con las Plmfunciones de esta manera:

Y ahora ya sabes cómo son las funciones de la Plm, pero ¿cómo son las constantes? Tan pronto como las tenga, tendrá todas las funciones propias del momento angular,

Puedes ir calculando las constantes Clm de la misma manera que siempre calculás las constantes de integración en física cuántica – normalizas las funciones propias a 1.

que se parece a esto:

(Recuerde que el símbolo del asterisco[*] significa el complejo conjugado. Un conjugado complejo invierte el signo que conecta las partes reales e imaginarias de un número complejo.)

Sustituye las siguientes tres cantidades en esta ecuación:

Obtendrá lo siguiente:

así que esto se convierte

Se puede evaluar la integral para esto:

Así que en otras palabras:

Lo que significa que

que es la función propia del momento angular en coordenadas esféricas, es

Las funciones dadas por esta ecuación se llaman los armónicos esféricos normalizados. Aquí están los primeros armónicos esféricos normalizados:

De hecho, puede utilizar estas relaciones para convertir los armónicos esféricos en coordenadas rectangulares:

Sustituyendo estas ecuaciones en

te da los armónicos esféricos en coordenadas rectangulares:

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