- Educación
- Ciencia
- Física Cuántica
- Cómo encontrar el estado propio de energía de un oscilador armónico en el espacio de posición
Libro Relacionado
Por Steven Holzner
En física cuántica, se pueden utilizar operadores para determinar el estado propio de energía de un oscilador armónico en el espacio de posición. El encanto de utilizar a los operadores a y
es que, dado el estado del suelo, | 0 >, estos operadores permiten encontrar todos los estados de energía sucesivos. Si desea encontrar el estado de excitación de un oscilador armónico, puede comenzar con el estado de tierra, | 0 >, y aplicar el operador de elevación,
Por ejemplo, puede hacerlo:
Y así sucesivamente. En general, usted tiene esta relación:
¿No puedes conseguir un estado espacial propio de este vector propio? Algo así como
no sólo | 0 >? Sí, sí puedes. En otras palabras, quieres encontrar
Así que necesitas las representaciones de
en el espacio de posición.
El operador p se define como
Porque
puedes escribir
Y escribir
esto se convierte en
Vale, ¿qué hay de la operadora? Sabes que
Y que
Por lo tanto,
También puedes escribir esta ecuación como
Vale, así que eso es una representación en la posición. ¿Qué es lo que
Resultó ser esto:
Ahora es el momento de ser inteligente. Quieres resolver para | 0 > en el espacio de posición, o… Aquí está la parte inteligente – cuando usas el operador de descenso, a, on | 0 >, tienes que obtener 0 porque no hay un estado más bajo que el estado del suelo, así que un | 0 > = 0. Y aplicando el = 0.
Eso es inteligente porque te va a dar una ecuación diferencial homogénea (es decir, una que es igual a cero). Primero, sustituyes a un archivo:
Multiplicando ambos lados por
le ofrece lo siguiente
La solución a esta ecuación diferencial compacta es
Esa es una función gaussiana, así que el estado de tierra de un oscilador armónico mecánico cuántico es una curva gaussiana, como se puede ver en la figura.
El estado de tierra de un oscilador armónico mecánico cuántico.