Cómo encontrar la energía de un oscilador cargado usando la teoría de laerturbación

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Por Steven Holzner

En la física cuántica, cuando se tienen los valores propios exactos de un oscilador cargado en un sistema perturbado, se puede encontrar la energía del sistema. Basado en la teoría de la perturbación, la energía corregida del oscilador viene dada por

dónde

es el término de perturbación en el Hamiltoniano. Eso es, aquí,

Ahora echa un vistazo a la ecuación de energía corregida usando

La corrección de primer orden es

que, utilizando

se convierte

porque ese es el valor esperado de x, y los osciladores armónicos pasan tanto tiempo en territorio x negativo como en territorio x positivo – es decir, el valor promedio de x es cero. Así que la corrección de primer orden a la energía, como lo da la teoría de la perturbación, es cero.

Bien, ¿cuál es la corrección de segundo orden de la energía, dada por la teoría de la perturbación? Aquí está:

Y porque

usted tiene

Lo expresamos en términos de sostenes y kets, cambiando

haciendo la corrección de energía de segundo orden en esta expresión:

Puede descifrar este paso a paso. Primero, la energía es

Esto facilita un poco el cálculo de la energía de segundo orden.

Además, las siguientes expresiones resultan ser válidas para un oscilador armónico:

Con estas cuatro ecuaciones, estás listo para abordar

la corrección de segundo orden de la energía. Omitiendo términos de mayor poder, la suma en esta ecuación se convierte en

Y sustituyendo E(0)n – E(0)n + 1 y E(0)n – E(0)n- 1 te da

Ahora, sustituyendo a y te da

Así que la corrección de segundo orden es

Por lo tanto, de acuerdo con la teoría de la perturbación, la energía del oscilador armónico en el campo eléctrico debe ser

Compare este resultado con la ecuación anterior para los niveles exactos de energía,

En otras palabras, la teoría de la perturbación le ha dado el mismo resultado que la respuesta exacta. ¿Qué te parece el acuerdo?

Por supuesto, no puedes esperar dar la misma respuesta cada vez usando la teoría de la perturbación, ¡pero este resultado es impresionante!

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