Cómo encontrar el estado propio de energía de un oscilador armónico en el espacio de posición

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Por Steven Holzner

En física cuántica, se pueden utilizar operadores para determinar el estado propio de energía de un oscilador armónico en el espacio de posición. El encanto de utilizar a los operadores a y

es que, dado el estado del suelo, | 0 >, estos operadores permiten encontrar todos los estados de energía sucesivos. Si desea encontrar el estado de excitación de un oscilador armónico, puede comenzar con el estado de tierra, | 0 >, y aplicar el operador de elevación,

Por ejemplo, puede hacerlo:

Y así sucesivamente. En general, usted tiene esta relación:

¿No puedes conseguir un estado espacial propio de este vector propio? Algo así como

no sólo | 0 >? Sí, sí puedes. En otras palabras, quieres encontrar

Así que necesitas las representaciones de

en el espacio de posición.

El operador p se define como

Porque

puedes escribir

Y escribir

esto se convierte en

Vale, ¿qué hay de la operadora? Sabes que

Y que

Por lo tanto,

También puedes escribir esta ecuación como

Vale, así que eso es una representación en la posición. ¿Qué es lo que

Resultó ser esto:

Ahora es el momento de ser inteligente. Quieres resolver para | 0 > en el espacio de posición, o… Aquí está la parte inteligente – cuando usas el operador de descenso, a, on | 0 >, tienes que obtener 0 porque no hay un estado más bajo que el estado del suelo, así que un | 0 > = 0. Y aplicando el = 0.

Eso es inteligente porque te va a dar una ecuación diferencial homogénea (es decir, una que es igual a cero). Primero, sustituyes a un archivo:

Multiplicando ambos lados por

le ofrece lo siguiente

La solución a esta ecuación diferencial compacta es

Esa es una función gaussiana, así que el estado de tierra de un oscilador armónico mecánico cuántico es una curva gaussiana, como se puede ver en la figura.

El estado de tierra de un oscilador armónico mecánico cuántico.

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