Cómo convertir una distribución de muestreo a una variable aleatoria normal estándar utilizando el teorema del límite central

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Por Alan Anderson

Puede utilizar el Teorema de límite central para convertir una distribución de muestreo en una variable aleatoria normal estándar. Basado en el Teorema del Límite Central, si se extraen muestras de una población que es mayor o igual a 30, entonces la media de la muestra es una variable aleatoria normalmente distribuida. Para determinar las probabilidades de la media de muestreo

las tablas normales estándar requieren que convierta

a una variable aleatoria normal estándar.

La distribución normal estándar es el caso especial en el que la media

es igual a 0, y la desviación estándar

es igual a 1.

Para cualquier variable aleatoria X normalmente distribuida con una media

y una desviación estándar

se encuentra la correspondiente variable aleatoria normal estándar (Z) con la siguiente ecuación:

Para la distribución de muestras de

la ecuación correspondiente es

Como ejemplo, digamos que hay 10.000 acciones que se negocian cada día en una bolsa de valores regional. Se sabe por experiencia histórica que los rendimientos de estas acciones tienen un valor medio del 10 por ciento anual y una desviación estándar del 20 por ciento anual.

Un inversor elige comprar una selección aleatoria de 100 de estas acciones para su cartera. ¿Cuál es la probabilidad de que la tasa media de rendimiento entre estas 100 acciones sea superior al 8 por ciento?

La cartera del inversor puede considerarse como una muestra de acciones seleccionadas entre la población de acciones que cotizan en la bolsa regional. El primer paso para encontrar esta probabilidad es calcular los momentos de la distribución del muestreo.

  • Calcula la media:

La media de la distribución del muestreo es igual a la media de la población.

  • Determine el error estándar: Este cálculo es un poco más complicado porque el error estándar depende del tamaño de la muestra en relación con el tamaño de la población. En este caso, el tamaño de la muestra (n) es 100, mientras que el tamaño de la población (N) es 10.000. Por lo tanto, primero hay que calcular el tamaño de la muestra en relación con el tamaño de la población, de la siguiente manera: Como el 1 por ciento es menos del 5 por ciento, no se utiliza el factor de corrección de población finita para calcular el error estándar. Nótese que en este caso, el valor del factor de corrección de población finita es:

Debido a que este valor es tan cercano a 1, el uso del factor de corrección de población finita en este caso tendría poco o ningún impacto en las probabilidades resultantes.

Y debido a que el factor de corrección de población finita no es necesario en este caso, el error estándar se calcula de la siguiente manera:

Para determinar la probabilidad de que la media de la muestra sea superior al 8 por ciento, ahora debe convertir la media de la muestra en una variable aleatoria normal estándar utilizando la siguiente ecuación:

Para calcular la probabilidad de que la media de la muestra sea superior al 8 por ciento, se aplica la fórmula anterior de la siguiente manera:

Porque

estos valores se sustituyen en la expresión anterior de la siguiente manera:

Puede calcular esta probabilidad utilizando las propiedades de la distribución normal estándar junto con una tabla normal estándar como ésta.

Tabla Normal Estándar – Valores Negativos
Z0.000.010.020.03-1.30.09680.09510.09340.0918-1.20.11510.11310.11120.1093-1.10.13570.13350.13140.1292-1.00.15870.15620.15390.1515 La

tabla muestra la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar (designada Z) sea menor o igual a un valor específico. Por ejemplo, puede escribir la probabilidad de que

(una desviación típica por debajo de la media) como

La probabilidad se encuentra en la tabla con estos pasos:

  1. Localice el primer dígito antes y después del punto decimal (-1.0) en la primera columna (Z).
  2. Busque el segundo dígito después del punto decimal (0,00) en la segunda columna (0,00).
  3. Vea dónde se cruzan la fila y la columna para encontrar la probabilidad:

Debido a que en realidad está buscando la probabilidad de que Z sea mayor o igual a -1, se requiere un paso más.

Debido a la simetría de la distribución normal estándar, la probabilidad de que Z sea mayor o igual que un valor negativo es igual a uno menos la probabilidad de que Z sea menor o igual que el mismo valor negativo.

Por ejemplo,

Esto se debe a que

son eventos complementarios. Esto significa que Z debe ser mayor o igual a -2 o menor o igual a -2. Por lo tanto,

Esto es cierto porque la ocurrencia de uno de estos eventos es cierta, y la probabilidad de un cierto evento es 1.

Después de reescribir algebraicamente esta ecuación, terminas con el siguiente resultado:

Para el ejemplo del portafolio,

El resultado muestra que hay un 84,13 por ciento de posibilidades de que la cartera del inversor tenga un rendimiento medio superior al 8 por ciento.

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