Cómo encontrar el Incentro, Circuncentro y Ortocentro de un Triángulo

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Geometría para maniquíes, 2ª edición

Por Mark Ryan

Cada triángulo tiene tres «centros» -un incentro, un circuncentro y un ortocentro- que están ubicados en la intersección de rayos, líneas y segmentos asociados con el triángulo:

  • Incentro: Donde se cruzan las tres bisectrices de un triángulo (una bisectriz de ángulo es un rayo que corta un ángulo a la mitad); el incentro es el centro de un círculo inscrito en (dibujado dentro) del triángulo.
  • Circuncentración: Donde se cruzan las tres mediatrices de los lados de un triángulo (una mediatriz es una línea que forma un ángulo de 90° con un segmento y lo corta por la mitad); el circuncentro es el centro de un círculo circunscrito alrededor (dibujado alrededor) del triángulo.
  • Orthocenter: Donde las tres altitudes del triángulo se cruzan. La altitud de un triángulo es un segmento de un vértice del triángulo al lado opuesto (o a la extensión del lado opuesto si es necesario) que es perpendicular al lado opuesto; el lado opuesto se llama la base.

Encontrar el incinerador

Encuentras un incentro de triángulo en la intersección de las tres bisectrices del triángulo. Esta ubicación le da al incinerador una propiedad interesante: El incentro está igualmente lejos de los tres lados del triángulo. Ningún otro punto tiene esta cualidad. Los incenters, como los centroides, siempre están dentro de sus triángulos.

La figura de arriba muestra dos triángulos con sus incentros y círculos inscritos, o incirculos (círculos dibujados dentro de los triángulos de modo que los círculos apenas tocan los lados de cada triángulo). Los incenters son los centros de los incirculos. (No hables demasiado de esta cosa de»adentro» si quieres estar con la multitud.)

Encontrar el circuncentro

Se encuentra el circuncentro de un triángulo en la intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo. Esta ubicación le da al circuncentro una propiedad interesante: el circuncentro está igualmente lejos de los tres vértices del triángulo.

La figura de arriba muestra dos triángulos con sus circunferencias y círculos circunscritos, o circunferencias (círculos dibujados alrededor de los triángulos para que los círculos pasen a través de los vértices de cada triángulo). Los circuncentros son los centros de los círculos.

En la figura de arriba se puede ver que, a diferencia de los centrosides e incentros, un circuncentro a veces está fuera del triángulo. El circuncentro es

  • Dentro de todos los triángulos agudos
  • Fuera de todos los triángulos obtusos
  • En todos los triángulos rectos (en el punto medio de la hipotenusa)

Encontrar el ortocentro

Echa un vistazo a la siguiente figura para ver un par de ortocentros. El ortocentro de un triángulo se encuentra en la intersección de sus altitudes. A diferencia del centroide, el incentro y el circuncentro – todos los cuales están ubicados en un punto interesante del triángulo (el centro de gravedad del triángulo, el punto equidistante de los lados del triángulo y el punto equidistante de los vértices del triángulo, respectivamente), el ortocentro de un triángulo no se encuentra en un punto con unas características tan buenas. Bueno, tres de cuatro no está mal.

Pero mira esto: Mira de nuevo los triángulos de la figura. Tome los cuatro puntos marcados de cada triángulo (los tres vértices más el ortocentro). Si haces un triángulo de tres de esos cuatro puntos, el cuarto punto es el ortocentro de ese triángulo. Bastante dulce, ¿eh?

Los ortocentros siguen la misma regla que los circuncentros (tenga en cuenta que tanto los ortocentros como los circuncentros implican líneas perpendiculares – altitudes y bisectrices perpendiculares): El ortocentro es

  • Dentro de todos los triángulos agudos
  • Fuera de todos los triángulos obtusos
  • En todos los triángulos rectos (en el vértice del ángulo recto)

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