Cómo encontrar la relación de incertidumbre de Heisenberg desde el principio

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Por Steven Holzner

Si ha leído las últimas secciones, ahora está armado con toda esta nueva tecnología: operadores y conmutadores hermicianos. ¿Cómo puedes ponerlo a trabajar? Usted puede llegar a la relación de incertidumbre de Heisenberg a partir de prácticamente desde cero.

He aquí un cálculo que le lleva de unas cuantas definiciones básicas a la relación de incertidumbre de Heisenberg. Este tipo de cálculo muestra cuánto más fácil es usar la notación de sujetador y ket sin base que la versión de matriz completa de vectores de estado. Este no es el tipo de cálculo que tendrá que hacer en clase, pero sígalo – saber cómo usar kets, sujetadores, conmutadores y operadores Hermitian es vital en los próximos capítulos.

La incertidumbre en una medición del operador hermiciano llamado A viene dada formalmente por

Eso es,

es igual a la raíz cuadrada del valor de la expectativa de A2 menos el valor de la expectativa cuadrada de A. Si usted ha tomado alguna clase de matemáticas que trató con estadísticas, esta fórmula puede ser familiar para usted. De manera similar, la incertidumbre en una medición utilizando el operador B de Hermitian es

Ahora considera a los operadores

(no las incertidumbres

más), y asumir que la aplicación de

ya que los operadores le dan valores de medición como este:

Como cualquier otro operador, usando

puede resultar en nuevas mascotas:

Aquí está la llave: La desigualdad de Schwarz te da

Así que puedes ver que el signo de la desigualdad,

que juega un papel importante en la relación de incertidumbre de Heisenberg, ya ha entrado en el cálculo.

(la definición de un operador Hermitian), puede ver que

Esto significa que

Así que puedes reescribir la desigualdad de Schwarz así:

Vale, ¿a dónde te ha llevado esto? Es hora de ser inteligente. Tenga en cuenta que puede escribir

es el anticomputador de los operadores

(las constantes y restan), puedes reescribir esta ecuación:

Aquí es donde las matemáticas se vuelven intensas. Echa un vistazo a lo que sabes hasta ahora:

Todo esto significa que puedes ver el valor de expectativa de la ecuación como la suma de los valores reales de la ecuación.

Y como el segundo término de la derecha es positivo o cero, puede decirse que lo siguiente es cierto:

Whew! Pero ahora compara esta desigualdad con la relación entre el uso anterior de la desigualdad de Schwarz:

La combinación de las dos ecuaciones te da esto:

Esto tiene el aspecto de la relación de incertidumbre de Heisenberg, excepto por los molestos paréntesis de los valores de expectativa, , y el hecho de que

aparecen al cuadrado aquí. Usted desea reproducir la relación de incertidumbre de Heisenberg aquí, que se ve así:

Vale, entonces, ¿cómo se obtiene el lado izquierdo de la ecuación de

Porque una ecuación anterior te dice que

sabes lo siguiente:

Tomando el valor de la expectativa del último término en esta ecuación, se obtiene este resultado:

Cuadrar la ecuación anterior

para conseguir lo siguiente:

Y comparando esa ecuación con la anterior, se concluye que

Genial. Este resultado significa que

Esta desigualdad significa por fin que

Vaya, vaya, vaya. Entonces, ¿el producto de dos incertidumbres es mayor o igual a la mitad del valor absoluto del conmutador de sus respectivos operadores? Wow. ¿Es esa la relación de incertidumbre de Heisenberg? Bueno, echa un vistazo. En la mecánica cuántica, el operador de impulso se ve así:

Y el operador para el momento en la dirección x es

Entonces, ¿cuál es el conmutador del operador X (que sólo devuelve la posición x de una partícula) y

obtienes la siguiente desigualdad (recuerda,

Aquí están las incertidumbres en x y

no los operadores):

¡Perro caliente! Esa es la relación de incertidumbre de Heisenberg. (Note que al derivarlo de la nada, sin embargo, usted no ha restringido el mundo físico a través del uso de matemáticas abstractas – simplemente ha probado, usando algunas suposiciones básicas, que no puede medir el mundo físico con una precisión perfecta).

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