Cómo encontrar el número de diagonales en un polígono

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Por Mark Ryan

Para encontrar el número de diagonales en un polígono con n lados, utilice la siguiente fórmula:

Esta fórmula parece que salió de la nada, ¿no? Por supuesto, ninguna fórmula matemática sale de la nada, pero puede que tengas que pensar un poco en esto para descubrir la lógica que hay detrás. (Sólo memorizarlo está bien, ¿pero cuál es la gracia de eso?)

Aquí es de donde viene la fórmula diagonal y por qué funciona. Cada diagonal conecta un punto con otro punto del polígono que no sea su vecino de al lado. En un polígono de n lados, tiene n puntos de partida para las diagonales. Y cada diagonal puede ir a (n – 3) puntos finales porque una diagonal no puede terminar en su propio punto inicial o en cualquiera de los dos puntos vecinos. Así que el primer paso es multiplicar n por (n – 3). Entonces, debido a que el punto final de cada diagonal puede ser usado como punto de partida también, el producto n(n – 3) cuenta cada diagonal dos veces. Por eso se divide por dos.

Aquí hay un problema para ti: Si un polígono tiene 90 diagonales, ¿cuántos lados tiene?

Sabes cuál es la fórmula para el número de diagonales en un polígono, y sabes que el polígono tiene 90 diagonales, así que conecta 90 para la respuesta y resuelve para n:

Por lo tanto, n es igual a 15 ó -12. Pero como un polígono no puede tener un número negativo de lados, n debe ser 15. Así que tienes un polígono de 15 lados (un pentadecágono, por si tienes curiosidad).

He aquí una ingeniosa aplicación en el mundo real de la fórmula diagonal. Digamos que hay un pequeño torneo de tenis con seis personas en el que todos tienen que jugar con todos los demás. ¿Cuántos partidos en total habrá? La siguiente figura muestra a los seis jugadores de tenis con segmentos que conectan a cada pareja de jugadores.

Cada segmento representa un partido entre dos concursantes. Así que para obtener el número total de coincidencias, sólo tienes que contar todos los segmentos de la figura: el número de lados del hexágono (6) más el número de diagonales en el hexágono.

El total es, por lo tanto, de 15 partidos. Para el caso general, el número total de partidos en un torneo de round-robin con n jugadores sería el siguiente

Juego, set, partido.

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