Cómo encontrar la ecuación de los asíntotas

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

En el pre-cálculo, puede que necesites encontrar la ecuación de asíntotas para ayudarte a bosquejar las curvas de una hipérbola. Debido a que las hipérbolas están formadas por una curva en la que la diferencia de distancias entre dos puntos es constante, las curvas se comportan de forma diferente a otras secciones cónicas. Esta figura compara las diferentes secciones cónicas.

Corte del cono derecho con un plano para obtener secciones cónicas.

Debido a que las distancias no pueden ser negativas, el gráfico tiene asíntotas que la curva no puede cruzar.

Creación de un rectángulo para graficar una hipérbola con asíntotas.

Las hiperbolas son las únicas secciones cónicas con asíntotas. Aunque las parábolas y las hipérbolas se parecen mucho, las parábolas están formadas por la misma distancia entre un punto y una línea. Por lo tanto, las parábolas no tienen asíntotas.

Algunos problemas de pre-cálculo te piden que encuentres no sólo el gráfico de la hipérbola sino también la ecuación de las líneas que determinan las asíntotas. Cuando se le pide que encuentre la ecuación de las asíntotas, su respuesta depende de si la hipérbola es horizontal o vertical.

Si la hipérbola es horizontal, las asíntotas vienen dadas por la línea con la ecuación

Si la hipérbola es vertical, las asíntotas tienen la ecuación

Las fracciones b/a y a/b son las pendientes de las líneas. Ahora que conoces la pendiente de tu recta y un punto (que es el centro de la hipérbola), siempre puedes escribir las ecuaciones sin tener que memorizar las dos fórmulas asíntotas.

En este ejemplo se puede encontrar la pendiente de la asíntota,

siguiendo estos pasos:

  1. Encuentra la pendiente de los asíntotas, la hipérbola es vertical, por lo que la pendiente de los asíntotas es
  2. Usa la pendiente del Paso 1 y el centro de la hipérbola como punto para encontrar la forma punto-pendiente de la ecuación, recuerda que la ecuación de una recta con pendiente m a través del punto (x1, y1) es y – y1 = m(x – x1). Por lo tanto, si la pendiente es y el punto es (-1, 3), entonces la ecuación de la recta es
  3. Tienes que hacer cada asíntota por separado aquí. Distribuye 4/3 a la derecha para obtener y luego suma 3 a ambos lados para obtener Distribuir -4/3 al lado derecho para obtener Luego suma 3 a ambos lados para obtener

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