Cómo encontrar las verdaderas raíces de un polinomio utilizando la regla de los signos de Descartes

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Por Yang Kuang, Elleyne Kase

Si sabes cuántas raíces totales tiene un polinomio, puedes usar un teorema bastante bueno llamado la regla de los signos de Descartes para contar cuántas raíces son números reales (tanto positivos como negativos) y cuántas son imaginarias. Verás, el mismo hombre que inventó el grafismo, Descartes, también encontró una manera de averiguar cuántas veces un polinomio puede cruzar el eje x – en otras palabras, cuántas raíces reales puede tener. Todo lo que tienes que ser capaz de hacer es contar!

Los términos soluciones/ceros/raíces son sinónimos porque todos representan donde la gráfica de un polinomio se cruza con el eje x. Las raíces que se encuentran cuando el gráfico se encuentra con el eje x se llaman raíces reales; puedes verlas y tratarlas como números reales en el mundo real. Además, debido a que cruzan el eje x, algunas raíces pueden ser negativas (lo que significa que intersectan el eje x negativo), y otras pueden ser raíces positivas (que intersectan el eje x positivo).

Así es como la regla de los signos de Descartes puede darte el número de posibles raíces reales, tanto positivas como negativas:

  • Raíces reales positivas. Para el número de raíces reales positivas, mire el polinomio, escrito en orden descendente, y cuente cuántas veces cambia el signo de un término a otro. Este valor representa el número máximo de raíces positivas en el polinomio. Por ejemplo, en el polinomio f(x) = 2×4 – 9×3 – 21×2 + 88x + 48, se ven dos cambios en el signo (¡no olvides incluir el signo más del primer término!) – del primer término (+2×4) al segundo (-9×3) y del tercer término (-21×2) al cuarto (88x). La regla de los signos de Descartes dice que el número de raíces positivas es igual a los cambios en el signo f(x), o es menor que eso por un número par (por lo que se sigue restando 2 hasta que se obtiene 1 o 0). Por lo tanto, el anterior f(x) puede tener 2 ó 0 raíces positivas.
  • Raíces reales negativas. Para el número de raíces reales negativas, encuentra f(-x) y cuenta de nuevo. Debido a que los números negativos elevados a pares son positivos y los números negativos elevados a impares son negativos, este cambio afecta sólo a los términos con poderes impares. Este paso es lo mismo que cambiar cada término con un grado impar a su signo opuesto y contar los cambios de signo de nuevo, lo que le da el máximo número de raíces negativas. La ecuación de ejemplo es f(-x) = 2×4 + 9×3 – 21×2 – 88x + 48, que cambia los signos dos veces. Sin embargo, al igual que en el caso de las raíces positivas, el número de raíces negativas es igual a los cambios en el signo f(-x), o debe ser menor que éste en un número par. Por lo tanto, este ejemplo puede tener 2 ó 0 raíces negativas.

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