Cómo encontrar los números críticos para una función

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Por Mark Ryan

Todos los extremos locales ocurren en puntos críticos de una función – ahí es donde el derivado es cero o indefinido (pero no olvide que los puntos críticos no siempre son extremos locales). Por lo tanto, el primer paso para encontrar el extremo local de una función es encontrar sus números críticos (los valores x de los puntos críticos).

Aquí hay un ejemplo: Halla los números críticos de f (x) = 3×5- 20×3, como se muestra en la figura.

f (x) = 3×5- 20×3.»/>El gráfico de f (x) = 3×5- 20×3

. Esto es lo que haces

:

  1. Encuentra la primera derivada de f usando la regla de potencia.
  2. Poner la derivada igual a cero y resolver para x.

Estos tres valores de x son números críticos de f. Podrían existir números críticos adicionales si la primera derivada no estuviera definida en algunos valores de x, pero debido a que la derivada, 15×4- 60×2, está definida para todos los valores de entrada, el conjunto de soluciones anterior, 0, -2, y 2, es la lista completa de números críticos. Debido a que la derivada de f es igual a cero en estos tres números críticos, la curva tiene tangentes horizontales en estos números. En la figura se pueden ver las pequeñas líneas tangentes horizontales dibujadas donde x = -2 y x = 2. La tercera línea tangente horizontal donde x = 0 es el eje x.

Una curva tiene una línea tangente horizontal donde su derivada es cero, es decir, en sus puntos estacionarios. Una curva tendrá líneas tangentes horizontales en todos sus mínimos y máximos locales (excepto en esquinas afiladas) y en todos sus puntos de inflexión horizontales.

Ahora que tiene la lista de números críticos, necesita determinar si los picos, valles o puntos de inflexión ocurren en esos valores x. Puede hacerlo con el primer test de derivación o con el segundo test de derivación. Tal vez te preguntes por qué tienes que probar los números críticos cuando puedes ver dónde están los picos y valles con sólo mirar el gráfico de la figura – que, por supuesto, puedes reproducir en tu calculadora gráfica. Buen punto. Bien, entonces este problema – por no mencionar otros incontables problemas que has hecho en los cursos de matemáticas – es un tanto artificioso e impráctico. ¿Qué más hay de nuevo?

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