Cómo trabajar con autovectores y valores propios

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Por Steven Holzner

En física cuántica, cuando se trabaja con kets, es útil saber cómo usar los vectores propios y los valores propios. Aplicar un operador a un ket puede resultar en un nuevo ket:

Para facilitar las cosas, puede trabajar con vectores propios y valores propios (eigen es en alemán «innato» o «natural»). Por ejemplo,

es un vector propio del operador A si

  • El número a es una constante compleja

Fíjate en lo que está pasando aquí: Aplicando A a uno de sus vectores propios,

multiplicado por el valor propio de ese vector propio, a.

Aunque una puede ser una constante compleja, los valores propios de los operadores Hermitian son números reales, y sus vectores propios son ortogonales.

La solución de un problema en términos de vectores propios y valores propios puede hacer la vida mucho más fácil porque al aplicar el operador a sus vectores propios sólo se obtiene el mismo vector propio de nuevo, multiplicado por su valor propio – no hay ningún cambio molesto de estado, por lo que no tiene que lidiar con un vector de estado diferente.

Echa un vistazo a esta idea, utilizando el operador R para tirar los dados, que se expresa de esta manera en forma de matriz:

El operador R trabaja en un espacio de 11 dimensiones y es Hermitian, por lo que habrá 11 vectores propios ortogonales y 11 valores propios correspondientes.

Debido a que R es una matriz diagonal, encontrar los vectores propios es fácil. Puedes tomar vectores unitarios en las 11 direcciones diferentes como los vectores propios. Esto es lo que el primer eigenvector,

se vería como:

Y esto es lo que el segundo vector propio,

se vería como:

Y así sucesivamente, hasta

Observe que todos los vectores propios son ortogonales.

¿Y los valores propios? Son los números que se obtienen cuando se aplica el operador R a un autovector. Debido a que los vectores propios son sólo vectores unitarios en las 11 dimensiones, los valores propios son los números en la diagonal de la matriz R: 2, 3, 4, y así sucesivamente, hasta 12.

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